Ist diese Abbildung stetig?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$T_{3}:\left(C^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right), f \mapsto f^{\prime}$

Ist diese Abbildung stetig?

Problem/Ansatz:

Wie genau kann man daran gehen?

Comments

Hallo
die Abbildung "Ableiten" ist eine lineare Funktion, was  due Metrik ||.||_C1 ist weiss ich leider nicht.
lul

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C1 soll ich glaube ich der Raum der einmal differenzierbarenfunktionen sein

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Hallo

was C1 ist und C2 ist mir klar, gefragt habe ich nach der Norm.

lul

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Im skript ist leider nichts zu finden

Answer 1

Die $C_1$-Norm ist wie folgt für mindestens einmal stetig differenzierbare Funktionen definiert:

$||f||_{C_1} = ||f||_{\infty} + ||f'||_{\infty}$, wobei das Supremum hier über dem betrachteten Intervall $[0,1]$ zu nehmen ist.

Der Operator $T$ is linear. Somit ist er stetig genau dann, wenn er beschränkt ist. Das heißt, wenn es eine Konstante $K$ gibt, so das für alle $f \in C^2[0,1]$ gilt

$||Tf||_{C_1}\leq K||f||_{C_1}$.

Betrachte nun für $n \geq 2$ die Funktionen

$f_n(x) = \frac 1n\sin(nx)$

$f_n^{'}(x) = \cos(nx)$

$f_n^{''}(x) = -n \sin(nx)$

$||Tf_n||_{C_1} =||f_n^{'}||_{\infty} + ||f_n^{''}||_{\infty}= 1+n$

$||f_n||_{C_1} =||f_n||_{\infty} + ||f_n^{'}||_{\infty}= \frac 1n+1$

$1+n \leq K \left(\frac 1n + 1\right) \Leftrightarrow \boxed{K\geq n}$

Das heißt, es gibt für den Operator $T$ keine solche Konstante $K$. Damit ist $T$ nicht stetig.

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Vielen Dank !!!!!