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Ich schreibe nächste Woche eine Klausur über das Thema Folgen und Reihen. Das Problem ist nur, dass ich nicht weiß was die Maclaurin-Reihe ist, wie sie aussieht oder aufgebaut wird und was man mit ihr anfangen kann.

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Hast du schonmal was von der Taylor-Reihe gehört?
Das ist eine Methode um eine komplizierte Funktion in der Nähe eines Entwicklungspunktes durch ein Polynom anzunähern. Die Definition lautet folgendermaßen:

$$ f ( x ) \approx f \left( x _ { 0 } \right) + f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) \cdot \left( x - x _ { 0 } \right) + \frac { f ^ { \prime \prime } \left( x _ { 0 } \right) } { 2 } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( x _ { 0 } \right) } { 6 } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 3 } + \ldots + \frac { f ^ { ( n ) } \left( x _ { 0 } \right) } { n ! } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n } + o \left( \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n } \right) $$

Das kleine o(...) bedeutet, dass nur noch Terme folgen, die bei Teilung durch (...) für x gegen x0 gegen 0 gehen.

Dieses Polynom nähert die Funktion deswegen sehr gut an, weil ihr Funktionswert und die ersten n Ableitungen mit den Werten der echten Funktion übereinstimmen.

Wenn nun die sogenannte Entwicklungsstelle x0 die Stelle 0 ist, dann nennt man die Entwicklung eine MacLaurin-Reihe.

Ein Beispiel ist die MacLaurin-Reihe der Sinusfunktion:

Es gilt:

sin(0) = 0
sin'(0) = cos(0) = 1
sin''(0) = -sin(0) = 0
sin'''(0) = -cos(0) = -1
...

Daraus folgt die Approximation:

$$ \sin ( x ) \approx x - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + o \left( x ^ { 7 } \right) $$

(Daher kommt auch die Kleinwinkelnäherung sin(x)≈x für kleine Winkel.)

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