Wie berechne ich dieses Integral? ∫[-1^1] x^n dx = 0 für ungerade n.

Question

Wie kann ich die Aussage begründen ?

Answer 1

∫_o² x^3 dx = 1/4 x^4 |_o² = 1/4 2^4 - 1/4 0^4 = 4 - 0 = 4

f(x) = x^n ist punktsymmetrisch bezüglich 0, genau dann wenn n ungerade ist.

∫_-1¹ x^n dx = 1/(n+1) x^{n+1} |_-1¹ 

= 1/(n+1) (-1)^{n+1} - 1/(n+1) 1^{n+1}     |n+1 gerade

=1/(n+1) - 1/(n+1)  = 0 qed.