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Wie berechnet man das 2014te Taylorpolynom der Funktion f(x) = 1/(x+1) in x0=1 und a=0?

Muss man den Limes dabei betrachten?
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Nun, es gilt:

$${ T }_{ 2014 }f\left( x,0 \right) =\sum _{ k=0 }^{ 2014 }{ \frac { f^{ (k) }\left( 0 \right)  }{ k! } x^{ k } }$$

Bildet man die ersten Ableitungen von f ( x ) = 1 / ( x + 1 ) , so erhält man:

$$f^{ (1) }\left( x \right) =\frac { -1 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 2 } }$$$$f^{ (2) }\left( x \right) =\frac { 2 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 3 } }$$$$f^{ (3) }\left( x \right) =\frac { -6 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 4 } }$$$$f^{ (4) }\left( x \right) =\frac { 24 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 5 } }$$$$f^{ (5) }\left( x \right) =\frac { -120 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 6 } }$$

und kann vermuten (erforderlichenfalls Beweis durch vollständige Induktion):

$$f^{ (k) }\left( x \right) =\frac { { (-1) }^{ k }k! }{ { \left( x+1 \right)  }^{ k+1 } }$$

und somit:

$$f^{ (k) }\left( 0 \right) ={ (-1) }^{ k }k!$$

Setzt man dies in die allgemeine Taylorformel (siehe oben) ein, so erhält man:

$${ T }_{ 2014 }f\left( x,0 \right) =\sum _{ k=0 }^{ 2014 }{ \frac { { (-1) }^{ k }k! }{ k! } x^{ k } }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ 2014 }{ { (-1) }^{ k }x^{ k } }$$$$=1-x+{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }-...+{ x }^{ 2014 }$$

und somit an der Stelle x0= 0

$${ T }_{ 2014 }f\left( 0,0 \right) =1$$

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