Existenz partieller Ableitungen f(x,y) = |xy| und Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

A1. Wir betrachten die Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$, definiert durch
$f(x, y):=|x y|$

a) Bestimmen Sie jeweils alle Punkte $u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}$, in denen die Funktion $f$ die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x}(u)$ bzw. $\frac{\partial f}{\partial y}(u)$ besitzt.
b) Bestimmen Sie alle Punkte $u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}$, in denen die Funktion $f$ differenzierbar ist.


Ansatz zu a):

Um die Existenz von $\frac{\partial f}{\partial x}(u), \frac{\partial t}{\partial y}(u)$ zu zeigen, müssen wir zeigen das $f$ in $u \in U$ differenzierbar ist.

Mit $|x|=\sqrt{x^{2}},|y|=\sqrt{y^{2}}$ und der Produktregel erhalten wir

$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=f_{x}(x, y)=|y| \frac{x}{|x|}$ für $x=u_{1} \neq 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=f_{y}(x, y)=|x| \frac{y}{|y|}$ für $y=u_{2} \neq 0$

Differenzierbarkeil von $f$ in $(0, y)$ mit $y \neq 0$
$\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h, y)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h||y|}{h}=|y|$
aber
$\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(0+h, y)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h||y|}{h}=-|y|$

$\Rightarrow$ $f$ nicht differenzierbar in $(0, y)$ für $y \neq 0$
$\Rightarrow$ Keine partiellen Ableitungen von $f$ in $(0, y) \quad y \neq 0$


Difterenzierbarkeit von $f$ in $(x, 0)$ mit $x \neq 0$
$\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, h)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h||x|}{h}=|x|$
aber
$\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, h)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h||x|}{h}=-|x|$

$\Rightarrow$ $f$ nicht differenzierbar in $(x, 0)$ für $x \neq 0$
$\Rightarrow$ Keine partiellen Ableitungen von $f$ in $(x, 0), x \neq 0$
Sei $(x,y) = (0,0)$, dann ist
$\begin{array}{l}\\\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} |0|\frac{h}{|h|}=0 \\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0}|0| \frac{h}{|h|}=0\end{array}$

Also existieren $\frac{\partial f}{\partial y}(u), \frac{\partial f}{\partial x}(u)$ für $u=(0,0)$

Hier fehlt wahrscheinlich noch zu zu zeigen das in allen anderen Punkten, die nicht auf den Achsen liegen $f$ partielle Ableitungen besitzt.

Idee:
Kann ich einfach argumentieren dass die restlichen Punkte keine "kritischen" Punkte sind weil z.B. die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ für $x ≠ 0$ differenzierbar ist? In diesem Fall wäre ja $f$ nicht differenzierbar, wenn $x = 0$ oder $y = 0$ gilt. Da ich diese Fälle aber schon gezeigt habe, ist $f$ $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (0,y), (x,0)$ mit $x,y ≠ 0$ differenzierbar und somit existieren dort auch die partiellen Ableitungen.

Ansatz zu b)
Differenzierbarkeilt von $f$ in $(0,0)$
$\begin{array}{l}\lim \limits_{\left(h_{1} ,h_{2}) \rightarrow(0,0)\right.} \frac{f\left(h_{1} h_{2}\right)-f(0,0)}{\|h\|} \\=\lim \limits_{\left(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0\right)} \frac{\left|h_{1}\right|\left|h_{2}\right|}{\|h\|} \\\leq \lim \limits_{\left(h_{1},h_{2}\right) \rightarrow(0,0)}\left|h_{1} h_{2} \right| =0\end{array}$

$\Rightarrow$ $f$ in $0,0$ differenzierbar

$f$ kann nicht in $(0,y), (x,0)$ mit $x,y ≠ 0$ differenzierbar sein, da dort keine partiellen Ableitungen existieren.

Also ist $f$ auch in den Punkten aus a) differenzierbar, in denen es auch partielle Ableitungen besitzt.

Problem:

Mir gehen hier viel zu viele Gedanken durch den Kopf, dafür das ich sie alle aufs Papier bringen kann. Ich weiss das die Stetigkeit und Existenz der Partiellen Ableitung in $u$ impliziert das $f$ in u differenzierbar ist. Aber die Stetigkeit ist ja nur ein Hinreichendes Kriterium. Vielleicht brauche ich das doch für b)

Ich bin dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Ich habe z.B. heraus

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f((0,y)+h(0,1))-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,y+h)-f(0,y)}{h}=\lim \frac{0-0}{h}=0$,

also existiert die partielle Ableitung nach $y$ an der Stelle

$(0,y)$. Wegen der Symmetrie in $x$ und $y$ existiert dann auch

die partielle Ableitung nach $x$ in $(x,0)$.

In allen Punkten außerhalb des Achsenkreuzes ist $f$ diffbar.

Comments

Hallo, danke für die Antwort, also existieren die partiellen Ableitungen von $f$ überall?

Ich meine das $f$ nicht auf den Achsen außer im Urspruch differenzierbar ist. Ist das richtig so?

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Für $y\neq 0$ existiert $\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)$ nicht,

ebenso existiert $\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)$ für $x\neq 0$ nicht.

Damit ist $f$ nicht in den Punkten des Achsenkreuzes diffbar.

außer möglicherweise in (0,0).

Bin der Meinung, dass in (0,0) Diffbarkeit vorliegt.