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Aufgabe:

A1. Wir betrachten die Funktion f : R2R f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} , definiert durch
f(x,y) : =xyf(x, y):=|x y|

a) Bestimmen Sie jeweils alle Punkte u=(u1,u2)R2 u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} , in denen die Funktion f f die partiellen Ableitungen fx(u) \frac{\partial f}{\partial x}(u) bzw. fy(u) \frac{\partial f}{\partial y}(u) besitzt.
b) Bestimmen Sie alle Punkte u=(u1,u2)R2 u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} , in denen die Funktion f f differenzierbar ist.


Ansatz zu a):

Um die Existenz von fx(u),ty(u) \frac{\partial f}{\partial x}(u), \frac{\partial t}{\partial y}(u) zu zeigen, müssen wir zeigen das ff in uU u \in U differenzierbar ist.

Mit x=x2,y=y2 |x|=\sqrt{x^{2}},|y|=\sqrt{y^{2}} und der Produktregel erhalten wir

fx(x,y)=fx(x,y)=yxx \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=f_{x}(x, y)=|y| \frac{x}{|x|} für x=u10 x=u_{1} \neq 0

fy(x,y)=fy(x,y)=xyy \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=f_{y}(x, y)=|x| \frac{y}{|y|} für y=u20 y=u_{2} \neq 0

Differenzierbarkeil von f f in (0,y) (0, y) mit y0 y \neq 0
limh0+f(0+h,y)f(0,0)h=limh0+hyh=y\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h, y)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h||y|}{h}=|y|
aber
limh0f(0+h,y)f(0,0)h=limh0hyh=y\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(0+h, y)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h||y|}{h}=-|y|

\Rightarrow ff nicht differenzierbar in (0,y) (0, y) für y0 y \neq 0
\Rightarrow Keine partiellen Ableitungen von f f in (0,y)y0 (0, y) \quad y \neq 0


Difterenzierbarkeit von f f in (x,0) (x, 0) mit x0 x \neq 0
limh0+f(x,h)f(0,0)h=limh0+hxh=x\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, h)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h||x|}{h}=|x|
aber
limh0f(x,h)f(0,0)h=limh0hxh=x\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, h)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h||x|}{h}=-|x|

\Rightarrow ff nicht differenzierbar in (x,0) (x, 0) für x0 x \neq 0
\Rightarrow Keine partiellen Ableitungen von f f in (x,0),x0 (x, 0), x \neq 0
Sei (x,y)=(0,0)(x,y) = (0,0), dann ist
fx(0,0)=limh00hh=0fy(0,0)=limh00hh=0\begin{array}{l}\\\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} |0|\frac{h}{|h|}=0 \\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0}|0| \frac{h}{|h|}=0\end{array}

Also existieren fy(u),fx(u) \frac{\partial f}{\partial y}(u), \frac{\partial f}{\partial x}(u) für u=(0,0) u=(0,0)

Hier fehlt wahrscheinlich noch zu zu zeigen das in allen anderen Punkten, die nicht auf den Achsen liegen ff partielle Ableitungen besitzt.

Idee:
Kann ich einfach argumentieren dass die restlichen Punkte keine "kritischen" Punkte sind weil z.B. die Betragsfunktion f(x)=xf(x) = |x| für x0x ≠ 0 differenzierbar ist? In diesem Fall wäre ja ff nicht differenzierbar, wenn x=0x = 0 oder y=0y = 0 gilt. Da ich diese Fälle aber schon gezeigt habe, ist ff (x,y)R2 : (0,y),(x,0) \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (0,y), (x,0) mit x,y0 x,y ≠ 0 differenzierbar und somit existieren dort auch die partiellen Ableitungen.

Ansatz zu b)
Differenzierbarkeilt von f f in (0,0) (0,0)
lim(h1,h2)(0,0)f(h1h2)f(0,0)h=lim(h1,h2)(0,0)h1h2hlim(h1,h2)(0,0)h1h2=0\begin{array}{l}\lim \limits_{\left(h_{1} ,h_{2}) \rightarrow(0,0)\right.} \frac{f\left(h_{1} h_{2}\right)-f(0,0)}{\|h\|} \\=\lim \limits_{\left(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0\right)} \frac{\left|h_{1}\right|\left|h_{2}\right|}{\|h\|} \\\leq \lim \limits_{\left(h_{1},h_{2}\right) \rightarrow(0,0)}\left|h_{1} h_{2} \right| =0\end{array}

\Rightarrow ff in 0,00,0 differenzierbar

ff kann nicht in (0,y),(x,0) (0,y), (x,0) mit x,y0 x,y ≠ 0 differenzierbar sein, da dort keine partiellen Ableitungen existieren.

Also ist ff auch in den Punkten aus a) differenzierbar, in denen es auch partielle Ableitungen besitzt.


Problem:

Mir gehen hier viel zu viele Gedanken durch den Kopf, dafür das ich sie alle aufs Papier bringen kann. Ich weiss das die Stetigkeit und Existenz der Partiellen Ableitung in uu impliziert das ff in u differenzierbar ist. Aber die Stetigkeit ist ja nur ein Hinreichendes Kriterium. Vielleicht brauche ich das doch für b)


Ich bin dankbar für jede Hilfe!

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1 Antwort

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Beste Antwort

Ich habe z.B. heraus

fy(0,y)=limh0f((0,y)+h(0,1))f(0,y)h=limh0f(0,y+h)f(0,y)h=lim00h=0\frac{\partial f}{\partial y}(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f((0,y)+h(0,1))-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,y+h)-f(0,y)}{h}=\lim \frac{0-0}{h}=0,

also existiert die partielle Ableitung nach yy an der Stelle

(0,y)(0,y). Wegen der Symmetrie in xx und yy existiert dann auch

die partielle Ableitung nach xx in (x,0)(x,0).

In allen Punkten außerhalb des Achsenkreuzes ist ff diffbar.

Avatar von 29 k

Hallo, danke für die Antwort, also existieren die partiellen Ableitungen von ff überall?

Ich meine das ff nicht auf den Achsen außer im Urspruch differenzierbar ist. Ist das richtig so?

Für y0y\neq 0 existiert fx(0,y)\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) nicht,

ebenso existiert fy(x,0)\frac{\partial f}{\partial y}(x,0) für x0x\neq 0 nicht.

Damit ist ff nicht in den Punkten des Achsenkreuzes diffbar.

außer möglicherweise in (0,0).

Bin der Meinung, dass in (0,0) Diffbarkeit vorliegt.

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