Aufgabe:
A1. Wir betrachten die Funktion f : R2⟶R, definiert durch
f(x,y) : =∣xy∣
a) Bestimmen Sie jeweils alle Punkte u=(u1,u2)∈R2, in denen die Funktion f die partiellen Ableitungen ∂x∂f(u) bzw. ∂y∂f(u) besitzt.
b) Bestimmen Sie alle Punkte u=(u1,u2)∈R2, in denen die Funktion f differenzierbar ist.
Ansatz zu a):
Um die Existenz von ∂x∂f(u),∂y∂t(u) zu zeigen, müssen wir zeigen das f in u∈U differenzierbar ist.
Mit ∣x∣=x2,∣y∣=y2 und der Produktregel erhalten wir
∂x∂f(x,y)=fx(x,y)=∣y∣∣x∣x für x=u1=0
∂y∂f(x,y)=fy(x,y)=∣x∣∣y∣y für y=u2=0
Differenzierbarkeil von f in (0,y) mit y=0
h→0+limhf(0+h,y)−f(0,0)=h→0+limh∣h∣∣y∣=∣y∣
aber
h→0−limhf(0+h,y)−f(0,0)=h→0−limh∣h∣∣y∣=−∣y∣
⇒ f nicht differenzierbar in (0,y) für y=0
⇒ Keine partiellen Ableitungen von f in (0,y)y=0
Difterenzierbarkeit von f in (x,0) mit x=0
h→0+limhf(x,h)−f(0,0)=h→0+limh∣h∣∣x∣=∣x∣
aber
h→0−limhf(x,h)−f(0,0)=h→0−limh∣h∣∣x∣=−∣x∣
⇒ f nicht differenzierbar in (x,0) für x=0
⇒ Keine partiellen Ableitungen von f in (x,0),x=0
Sei (x,y)=(0,0), dann ist
∂x∂f(0,0)=h→0lim∣0∣∣h∣h=0∂y∂f(0,0)=h→0lim∣0∣∣h∣h=0
Also existieren ∂y∂f(u),∂x∂f(u) für u=(0,0)
Hier fehlt wahrscheinlich noch zu zu zeigen das in allen anderen Punkten, die nicht auf den Achsen liegen f partielle Ableitungen besitzt.
Idee:
Kann ich einfach argumentieren dass die restlichen Punkte keine "kritischen" Punkte sind weil z.B. die Betragsfunktion f(x)=∣x∣ für x=0 differenzierbar ist? In diesem Fall wäre ja f nicht differenzierbar, wenn x=0 oder y=0 gilt. Da ich diese Fälle aber schon gezeigt habe, ist f ∀(x,y)∈R2 : (0,y),(x,0) mit x,y=0 differenzierbar und somit existieren dort auch die partiellen Ableitungen.
Ansatz zu b)
Differenzierbarkeilt von f in (0,0)
(h1,h2)→(0,0)lim∥h∥f(h1h2)−f(0,0)=(h1,h2)→(0,0)lim∥h∥∣h1∣∣h2∣≤(h1,h2)→(0,0)lim∣h1h2∣=0
⇒ f in 0,0 differenzierbar
f kann nicht in (0,y),(x,0) mit x,y=0 differenzierbar sein, da dort keine partiellen Ableitungen existieren.
Also ist f auch in den Punkten aus a) differenzierbar, in denen es auch partielle Ableitungen besitzt.
Problem:
Mir gehen hier viel zu viele Gedanken durch den Kopf, dafür das ich sie alle aufs Papier bringen kann. Ich weiss das die Stetigkeit und Existenz der Partiellen Ableitung in u impliziert das f in u differenzierbar ist. Aber die Stetigkeit ist ja nur ein Hinreichendes Kriterium. Vielleicht brauche ich das doch für b)
Ich bin dankbar für jede Hilfe!