Flächenformel Kreis zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigt, dass die Flächenformel für den Kreis A=pi mal r^2 gilt. Folgende Einzelschritte:

a) Begründe: A=2 mal Integral von -r bis r über Wurzel von r^2-x^2 dx

b) Berechne das bestimmte Integral mithilfe der Substitution x=r mal sin(z)

Problem/Ansatz:

Answer 1

a)

x^2 + y^2 = r^2 ist ein Kreis mit Radius r um den Koordinatenursprung

y^2 = r^2 - x^2

y = √(r^2 - x^2) ist ein Halbkreis über der x-Achse

A = 2·∫ (-r bis r) √(r^2 - x^2) dx

Die Fläche unter dem Halbkreis mal 2 ist die Fläche des Vollkreises.

b)

A = 4·∫ (0 bis r) √(r^2 - x^2) dx

Und jetzt das Integral über die angegebene Substitution lösen.