Flächenformel Kreis zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigt, dass die Flächenformel für den Kreis A=pi mal r² gilt. Folgende Einzelschritte:

a) Begründe: A=2 mal Integral von -r bis r über Wurzel von r²-x² dx

b) Berechne das bestimmte Integral mithilfe der Substitution x=r mal sin(z)

Problem/Ansatz:

Answer 1

a)

x² + y² = r² ist ein Kreis mit Radius r um den Koordinatenursprung

y² = r² - x²

y = √(r² - x²) ist ein Halbkreis über der x-Achse

A = 2·∫ (-r bis r) √(r² - x²) dx

Die Fläche unter dem Halbkreis mal 2 ist die Fläche des Vollkreises.

b)

A = 4·∫ (0 bis r) √(r² - x²) dx

Und jetzt das Integral über die angegebene Substitution lösen.