Aloha :)
Mathhilf hat mich darauf hingwiesen, dass ich das Fakultätszeichen übersehen habe.
Mit Fakultätszeichen ist die Abschätzung sehr einfach...
=== NEUE ANTWORT ===
ex=n=0∑∞n!xn⟹ex≥n!xn⟹x=nen≥n!nn⟹n!≥(en)n⟹nn!≥en→∞
=== ALTE ANTWORT ===
Mit dem binomischen Lehrsatz folgt:(1+n2)n=k=0∑n(kn)1n−k(n2)k=k=0∑n(kn)(n2)k
Für n≥2 können wir aus der Summe die Summanden mit k=0 und k=2 auswählen und zur Abschätzung alle anderen Summanden einfach weglassen:(1+n2)n≥(0n)(n2)0+(2n)(n2)2=1+2n⋅(n−1)⋅n2=nAuf beiden Seiten die n-te Wurzel gezogen liefert:1+n2≥nn
Damit haben wir ein Sandwich gefunden:1≤nn≤1+n2fu¨r n≥2Für n→∞ konvergiert nn also gegen 1.