Was ist der Grenzwert von √[n]{n!}?

Question

Aufgabe:

Hallo Leute, ich suche jemanden, der mit helfen kann bei der Frage, was der Grenzwert von  $\sqrt[n]{n!}$ ist.

Vielen Dank schonmal im Voraus !

Answer 1

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/372111/beweise-limes-n-te-wurzel-aus-unen…

Answer 2

Aloha :)

Mathhilf hat mich darauf hingwiesen, dass ich das Fakultätszeichen übersehen habe.

Mit Fakultätszeichen ist die Abschätzung sehr einfach...

=== NEUE ANTWORT ===

$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\implies e^x\ge\frac{x^n}{n!}\stackrel{x=n}{\implies}e^n\ge\frac{n^n}{n!}\implies n!\ge\left(\frac ne\right)^n\implies\sqrt[n]{n!}\ge\frac ne\to\infty$$

=== ALTE ANTWORT ===

Mit dem binomischen Lehrsatz folgt:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$

Für $n\ge2$ können wir aus der Summe die Summanden mit $k=0$ und $k=2$ auswählen und zur Abschätzung alle anderen Summanden einfach weglassen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$Auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}$$

Damit haben wir ein Sandwich gefunden:$$1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac2n}\quad\text{für }n\ge2$$Für $n\to\infty$ konvergiert $\sqrt[n]{n}$ also gegen $1$.

Comments

Danach war nicht gefragt. Interessant ist daher die Vergabe des Plus-Punkts

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Danke für den Hinweis, ich habe tatsächlich das Ausrufezeichen übersehen.

Mit Fakultät ist die Abschätzung natürlich deutlich einfacher.

Answer 3

Hallo

sieh die Näherungsformel für n! an "Stirlingsformel" etwa in https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

lul