Bestimmen Sie die orthogonale Projektion P\Pi_{4([-1,1]) → W}(f) von f auf W .

Question

Seien $p_{1}, p_{2} \in \Pi_{4}([-1,1])$, wobei $p_{1}(t)=t$ und $p_{2}(t)=t^{2}$ ist. Sei weiterhin folgendes Skalarprodukt definiert:

$\langle p, q\rangle:=\int \limits_{-1}^{1} p(t) q(t) \mathrm{d} t, \quad p, q \in \Pi_{4}([-1,1])$
sowie $W:=\operatorname{spann}\left(p_{1}, p_{2}\right)$ und sei $f \in \Pi_{4}([-1,1])$ mit $f(t)=1+t^{2}+t^{3}$. Bestimmen Sie die orthogonale Projektion $P_{\Pi_{4}([-1,1]) \rightarrow W}(f)$ von $f$ auf $W$.

Answer 1

$\langle p_1, p_2\rangle=\int \limits_{-1}^{1} t^3 \mathrm{d} t = 0$    also gilt  p1 ⊥ p2 .

Dann hast du also für die Projektion von f aus W den Ansatz:

ap₁ + bp₂

mit $a=\frac{ \langle f, p_1\rangle}{ \langle p_1, p_1\rangle}$  und   $b=\frac{ \langle f, p_2\rangle}{ \langle p_2, p_2\rangle}$

Ausrechnen gibt $\langle f, p_1\rangle=\int \limits_{-1}^{1} (1+t^{2}+t^{3})\cdot t \mathrm{d} t =0,4$   etc.

Ich bekomme für die Projektion $P_{\Pi_{4}([-1,1]) \rightarrow W}(f) = \frac{3}{5}t + \frac{8}{3}t^2$