Aufgabe:
Sei \(a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 2^k\), zeigen Sie : \( \quad \sum \limits_{n \geq 0} a_{n} x^{n}=\frac{1}{\sqrt{1-6 x+x^{2}}} \)
Problem/Ansatz : Sitze bereits seit einem Tag hieran und komme nicht weiter. Es handelt sich um eine Übungsaufgabe zu einer Vorlesung in der Diskreten Mathematik. Der Kontext des Kapitels sind erzeugende Funktionen. Bei der beschriebenen Potenzreihe handelt es sich nur um eine formale. Ich habe versucht es über ein multiplikatives Inverses Element zuzeigen, dass die erzeugende Funktion \( f_{a}(x) \) um \( \sqrt{1-6 x+x^{2}} \) multipliziert 1 ergibt, wollte mit der Symmetrie des Binomialkoeffizienten und dem Cauchy-Produkt die eine Reihe in zwei Reihen auseinander ziehen und hab versucht, mithilfe des Satzes (siehe unten), \( a_{n} \) als \( \sum \limits_{i=1}^{k} P_{i}(n) \gamma_{i}^{n} \) umzuformen in den \( \operatorname{Bruch} \frac{P(x)}{Q(x)} \), wobei also \( P(x)=1 \) und \( Q(x) \) die Wurzel aus dem Nenner wäre.
Der Satz :
Für eine Folge \( a=\left(a_{0}, a_{1}, \ldots\right) \) von komplexen Zahlen und ein \( d \)-Tupel \( \left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{d}\right) \in \mathbb{C}^{d} \) mit \( \alpha_{d} \neq 0 \) sind äquivalent :
(i) \( f_{a}(x)=\sum \limits_{n \geq 0} a_{n} x^{n}=\frac{P(x)}{Q(x)} \quad \) mit \( Q(x)=1+\alpha_{1} x+\cdots+\alpha_{d} x^{d} \quad \) und einem Polynom \( P(x) \) vom Grad \( <d \)
(ii) \( a_{n+d}+\alpha_{1} a_{n+d-1}+\cdots \alpha_{d} a_{n}=0 \) für \( n \geq 0 \)
(iii) Für \( n \geq 0 \) gilt \( \quad a_{n}=\sum \limits_{i=1}^{k} P_{i}(n) \gamma_{i}^{n} \quad \) mit \( 1+\alpha_{1} x+\cdots+\alpha_{d} x^{d}=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(1-\gamma_{i} x\right)^{d_{i}} \), sodass \( \gamma_{i} \neq \gamma_{j}, 1 \leq i<j \leq k \) und \( P_{i}(n) \) ein Polynom vom Grad \( <d_{i} \)
Natürlich hab ich mit keinem Ansatz erfolg gehabt, sonst würde ich diese Frage nicht stellen. Vielleicht findet sich hier ja tatsächlich jemand, der direkt sieht wie man das machen kann.
