Streckenberechnung in einer Pyramide

Question

Ich habe eine Pyramide gegeben in der die Seiten E, F, G und H und der Schnittpunkt V zweier Diagonalen gegeben. Die Aufgaben sind: a) Zeigen Sie, dass die Diagonalen orthogonal sind. b) Berechnen Sie die Länge der beiden Diagonalen G→E und H→F und bestimmen sie die Koordinaten ihres Schnittpunktes V. 3) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Deckfläche. Gegeben sind: E (4/0/4) ; F (6/6/2); G (0/4/4) und H (0/0/5). Mrine Frage: Wie gehe ich nun bei der Rechnung vor und wie überprüfe ich meine Ergebnisse? Vielen Dank mfg.

Answer 1

Gegeben sind: E (4/0/4) ; F (6/6/2); G (0/4/4) und H (0/0/5)

 

a) Zeigen Sie, dass die Diagonalen orthogonal sind. 

EG = [0, 4, 4] - [4, 0, 4] = [-4, 4, 0]
FH = [0, 0, 5] - [6, 6, 2] = [-6, -6, 3]

EG * FH = 0 --> Die Diagonalen sind senkrecht.

 

b) Berechnen Sie die Länge der beiden Diagonalen G→E und H→F und bestimmen sie die Koordinaten ihres Schnittpunktes V.

|EG| = |[-4, 4, 0]| = √32 = 5.657 LE
|FH| = |[-6, -6, 3]| = 9 LE

Gerade durch EG mit der Gerade durch FH schneiden

[4, 0, 4] + r·[-4, 4, 0] = [6, 6, 2] + s·[-6, -6, 3]
r = 1/2 ∧ s = 2/3

V = [4, 0, 4] + 1/2·[-4, 4, 0] = [2, 2, 4]

 

3) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Deckfläche. 

A = 1/2·√32·9 = √648 = 25.46 FE

Answer 2

a)

Die Diagonalen EG und FH sind genau dann orthogonal. wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Die Richtungsvektoren sind: 

$$u=E-G=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$v=F-H=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$u und v sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null hat, also:$$u*v=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$$$=(4*6)+((-4)*6)+(0*(-3))=24-24+0=0$$

Also sind die Diagonalen EG und FH orthogonal.

 

b)

$$|GE|=|E-G|=|u|=\left| \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ \left( -4 \right) }^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 } } =\sqrt { 32 } =4\sqrt { 2 }$$$$|HF|=|F-H|=|v|=\left| \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+6^{ 2 }+(-3)^{ 2 } } =\sqrt { 81 } =9$$

Der Schnittpunkt muss zu beiden Diagonalen gehören, muss also beide Diagonalengleichungen erfüllen. Die Diagonalengleichungen sind:

$$GE:\vec { x } =G+r(E-G)=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$HF:\vec { x } =H+s(F-H)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$Gleichsetzen:$$GE=HF$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$Dies führt auf das Gleichungssystem:$$4r=6s$$$$4-4r=6s$$$$4=5-3s$$dessen Lösung ist:$$\Leftrightarrow r=\frac { 1 }{ 2 } ,s=\frac { 1 }{ 3 }$$Einsetzen in eine der beiden Diagonalengleichungen ergibt die Koordinaten des Schnittpunktes:$$\Rightarrow V=G+r(E-G)=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}+\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

 

Bei der dritten Aufgabe weiß ich nicht, was mit Deckfläche gemeint ist. Eventuell die Mantelfläche?

Comments

 Die Seiten schließen eine Fläche ein, die die Form eines Flugdrachens hat. Diese konnte aber alleine berechnen vielen Dank dafür.