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Hallo, ich habe eine Pyramide gegeben in der die Seiten E, F, G und H und der Schnittpunkt V zweier Diagonalen gegeben. Die Aufgaben sind: a) Zeigen Sie, dass die Diagonalen orthogonal sind. b) Berechnen Sie die Länge der beiden Diagonalen G→E und H→F und bestimmen sie die Koordinaten ihres Schnittpunktes V. 3) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Deckfläche. Gegeben sind: E (4/0/4) ; F (6/6/2); G (0/4/4) und H (0/0/5). Mrine Frage: Wie gehe ich nun bei der Rechnung vor und wie überprüfe ich meine Ergebnisse? Vielen Dank mfg.
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Gegeben sind: E (4/0/4) ; F (6/6/2); G (0/4/4) und H (0/0/5)

 

a) Zeigen Sie, dass die Diagonalen orthogonal sind. 

EG = [0, 4, 4] - [4, 0, 4] = [-4, 4, 0]
FH = [0, 0, 5] - [6, 6, 2] = [-6, -6, 3]

EG * FH = 0 --> Die Diagonalen sind senkrecht.

 

b) Berechnen Sie die Länge der beiden Diagonalen G→E und H→F und bestimmen sie die Koordinaten ihres Schnittpunktes V.

|EG| = |[-4, 4, 0]| = √32 = 5.657 LE
|FH| = |[-6, -6, 3]| = 9 LE

Gerade durch EG mit der Gerade durch FH schneiden

[4, 0, 4] + r·[-4, 4, 0] = [6, 6, 2] + s·[-6, -6, 3]
r = 1/2 ∧ s = 2/3

V = [4, 0, 4] + 1/2·[-4, 4, 0] = [2, 2, 4]

 

3) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Deckfläche. 

A = 1/2·√32·9 = √648 = 25.46 FE

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a)

Die Diagonalen EG und FH sind genau dann orthogonal. wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Die Richtungsvektoren sind: 

$$u=E-G=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$v=F-H=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$u und v sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null hat, also:$$u*v=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$$$=(4*6)+((-4)*6)+(0*(-3))=24-24+0=0$$

Also sind die Diagonalen EG und FH orthogonal.

 

b)

$$|GE|=|E-G|=|u|=\left| \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ \left( -4 \right)  }^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 } } =\sqrt { 32 } =4\sqrt { 2 }$$$$|HF|=|F-H|=|v|=\left| \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+6^{ 2 }+(-3)^{ 2 } } =\sqrt { 81 } =9$$

Der Schnittpunkt muss zu beiden Diagonalen gehören, muss also beide Diagonalengleichungen erfüllen. Die Diagonalengleichungen sind:

$$GE:\vec { x } =G+r(E-G)=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$HF:\vec { x } =H+s(F-H)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$Gleichsetzen:$$GE=HF$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$Dies führt auf das Gleichungssystem:$$4r=6s$$$$4-4r=6s$$$$4=5-3s$$dessen Lösung ist:$$\Leftrightarrow r=\frac { 1 }{ 2 } ,s=\frac { 1 }{ 3 }$$Einsetzen in eine der beiden Diagonalengleichungen ergibt die Koordinaten des Schnittpunktes:$$\Rightarrow V=G+r(E-G)=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}+\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

 

Bei der dritten Aufgabe weiß ich nicht, was mit Deckfläche gemeint ist. Eventuell die Mantelfläche?

Beantwortet von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Vielen Dank. Die Seiten schließen eine Fläche ein, die die Form eines Flugdrachens hat. Diese konnte aber alleine berechnen vielen Dank dafür.

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