Stetigkeit einer stückweisen definierten Funktion

Question

Aufgabe:

Seien $a<b<c$ reelle Zahlen, $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, $g:[b, c] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und $f(b)=g(b)$. Zeigen Sie: Dann ist $h:[a, c] \rightarrow \mathbb{R}$,
$h(x)=\left\{\begin{array}{ll} f(x) & \text { falls } x \in[a, b] \\ g(x) & \text { falls } x \in(b, c] \end{array}\right.$

stetig.

Problem/Ansatz:

Dadurch, dass f(b) = g(b) gilt ist es offensichtlich, dass bei dem "Übergang" die Stetigkeit weiterhin gegeben ist. Allerdings weiß ich nicht so genau, wie ich dies ordentlich zeigen kann.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

$\lim\limits_{x\to b}h(x)$ existiert genau dann, wenn linksseitiger Grenzwert $\lim\limits_{x\nearrow b}h(x)$ und rechtsseitiger Grenzwert $\lim\limits_{x\searrow b}h(x)$ existieren und übereinstimmen.

Comments

Wie soll man das hier noch großartig zeigen?

Die Aufgabe ist seltsam. Die Lösung steht schon in der Angabe.