Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapez

Question

Aufgabe

In einem Trapez ABCD ist ein Kreis mit dem Radius R einbeschrieben. Gegeben ist, dass
∠DAB = α und ∠ABC = β. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapez.

Problem/Ansatz:

Ich finde gar keinen Ansatz

Answer 1

Man ziehe durch den Mittelpunkt \(M\) des Kreises das Lot auf \(AB\) und betrachte nur die linke Seite des Trapez.

Die Gerade (schwarz gestrichelt) durch \(M\) parallel zu \(AD\) teilt die gleichgroßen Dreiecke \(\triangle PN_1M\) und \(\triangle QN_2M\) ab. Folglich sind die Vierecke \(AN_1N_2D\) und \(APQD\) gleich groß.

Es ist (siehe \(\triangle PN_1M\))$$\sin(\alpha) = \frac{R}{|PM|} \implies |PM| = \frac{R}{\sin(\alpha)}$$Das Viereck \(APQD\) ist ein Parallelogramm mit der Höhe \(R\) und der Grundseite \(|PQ|\)$$|PQ| = |PM| + |MQ| = 2|PM| = \frac{2R}{\sin(\alpha)}$$und die Fläche der linken Trapezseite ist demnach$$A_{\{AN_1N_2D\}} = R \cdot \frac{2R}{\sin(\alpha)} = R^2 \cdot\frac{2}{\sin(\alpha)}$$Für die rechte Seite gilt das gleiche eben nur mit \(\beta\)$$\implies A = R^2\left(\frac{2}{\sin(\alpha)} + \frac{2}{\sin(\beta)}\right)$$

Comments

@Werner:

Dein (ehemaliger) Kommentar ist die beste Antwort!

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Ich hatte mir schon gedacht, dass man meine vereinfacht gefundene Formel auch geschickter herleiten kann. Jetzt wissen wir auch, wie.

Danke für den guten Beitrag.

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Es ist immer die Suche nach der "einfachen Antwort", die den Spaß an der Sache ausmacht. Ich hatte vorher auch 'nur' die Lösung vom Mathecoach, aber das Resultat war so einfach, dass da mehr sein musste ;-)

Danke für die positiven Kommentare.

Answer 2

Folgende Skizze hat mir geholfen eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von α und β aufzustellen.

Comments

Nach Vereinfachung meiner ersten Formel komme ich jetzt auf folgende Flächenformel.

A = 2·r^2·(1/SIN(α) + 1/SIN(β))

Geprüft habe ich es aber noch nicht. Das überlasse ich fleißigen Nachrechnern.

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Sehr schöne Abbildung.

Ich sehe 8 rechtwinklige Dreiecke, deren eine Kathete jeweils der Radius ist.

Die beiden Abschnitte, die auf der Grundseite zu sehen sind, seien p und q, die beiden auf der oberen Seite seien u und v.

Dann ist der gesuchte Flächeninhalt A=r•(p+q+u+v).

r/p=tan(½α) → p= ...

r/q=tan(½β) → q= ...

Für die oberen Winkel gilt: γ=180°-β und δ=180°-α.

Mit dem Tangens der beiden Winkel erhält man u und v und schließlich den Flächeninhalt.

:-)

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Mit dem Tangens der beiden Winkel erhält man u und v und schließlich den Flächeninhalt.

Das war die Idee dahinter.

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Mir fällt gerade auf:

Die beiden schrägen Seiten sind Hypotenusen zweier rechtwinkliger Dreiecke, in denen r jeweils die Höhe ist. Damit gilt der Höhensatz:

r^2 = q•u = p•v

u=r^2/q

v=r^2/p

Answer 3

A= ((AB)+(CD))/2 *h

h= 2r

Zeichne die Höhe zweimal ein, du erhältst zwei rechtwinkelige Dreiecke.

Comments

AB und CD sind so nicht bekannt.

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Gibt es eine Möglichkeit mit meinem Ansatz an AB und CD ranzukommen?

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Ja Siehe MontyPython

|AB| = p + q

Aber dein Ansatz vereinfach leider nicht die Rechnung von mir und MontyPython.

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Ich sehe es. Danke.