Abbildungsmatrix Rechenweg zeigen

Question

Aufgabe:

$\mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{l}-2 \\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]\right)$

$K_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ 0 & -2\end{array}\right]$

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht wie man diese Abbildungsmatrix berechnen kann? Kann mir jemand den Rechenweg zeigen?

Comments

Wie lautet die vollständige Aufgabe? Ich sehe in deinen Angaben keinen Sinn.

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Text erkannt:

Eine lineare Abbildung $K: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ habe bzgl. der Basis
$\mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{r} -2 \\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]\right)$
die Abbildungsmatrix
$K_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{array}\right]$
Des Weiteren sei die Basis
$\mathcal{C}:=\left(\left[\begin{array}{l} -4 \\ -6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 17 \\ 26 \end{array}\right]\right)$
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $K_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$ von $K$ bzgl. der Basis $\mathcal{B}$ (im Urbildraum) und der Basis $\mathcal{C}$ (im Bildraum).

Answer 1

Aloha :)

Du kennst die Abbildungsmatrix $K_{B\leftarrow B}$.

Ihre Eingangs- und Ausgangsvektoren haben Komponenten bezüglich der Basis $B$.

Zu bestimmen ist die Abbildungsmatrix $K_{C\leftarrow B}$.

Wir müssen also die Ausgangsvektoren von $K_{B\leftarrow B}$ in die Basis $C$ transformieren:$$K_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow B}\cdot K_{B\leftarrow B}$$

Wir suchen nun die Transforamtions-Matrix $\operatorname{id}_{C\leftarrow B}$ von $B$ nach $C$.

Zu ihrer Berechnung nutzen wir aus, dass die Komponenten der Basisvektoren von $B$ und von $C$ beide bezüglich der kanonischen Standardbasis $S$ angegeben sind. Wir kennen also die Transformations-Matrizen

$$\operatorname{id}_{B\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-2 & 1\\-2 & 2\end{array}\right)\quad;\quad \operatorname{id}_{C\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\-6 & 26\end{array}\right)$$

Daraus erhalten wir die gesuchte Transformations-Matrix:$$\operatorname{id}_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\operatorname{id}_{S\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\left(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-13 & 15\\-20 & 23\end{array}\right)$$

Die gesuchte Abbildungsmatrix ist daher:$$K_{C\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}-13 & 15\\-20 & 23\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & 4\\0 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-39 & -82\\-60 & -126\end{array}\right)$$