Wie lässt sich die Transformationsmatrix bestimmen?

Question

Aufgabe:

B = ($\begin{pmatrix} 7\\2\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3\\9 \end{pmatrix}$)

Wie bestimme ich _AT_B den Basiswechsel also _AM_B(id), sei A die kanonische Basis in R²
Problem/Ansatz:

Darstellung der Einheitsvektoren mithilfe der neuen Vektoren

Answer 1

Du suchst also a,b,c,d mit

$a\begin{pmatrix} 7\\2\end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 3\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$

und

$c\begin{pmatrix} 7\\2\end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 3\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$

Da kannst du eine Matrixgleichung draus machen

$\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 7&3\\2&9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

und du siehst: Die ges. Matrix ist die Inverse von

$\begin{pmatrix} 7&3\\2&9 \end{pmatrix}$

Das wäre $\begin{pmatrix} \frac{3}{19}&\frac{-1}{19}\\ \frac{-2}{57}&\frac{7}{57} \end{pmatrix}$

Comments

Ich persönlich finde es immer schön, wenn man den Hauptnenner ausklammert

$$\frac{1}{57} \cdot \begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Das ist aber sicher geschmackssache.