stetige Verzinsung xxxxxx

Question

Aus einem Buch zur Finanzmathematik: "Das Land A hat 20 Mio. Einwohner bei einer (stetigen) Wachstumsrate von 3 % jährlich. ... ... ..."

Das Buch rechnet mit dem Ansatz für stetige Verzinsung \( K_n = 20\exp(0.03n) \)

Ich würde mit dem Ansatz für exponentielles Wachstum rechnen \( A_n = 20*1.03^n \)

Welcher Ansatz ist nun richtig?

Und warum ergeben sich überhaupt zwei verscheidene Ansätze. Eigentlich sollte stetige Verzinsung das gleiche wie exponentielles Wachstum sein?

Answer 1

Bei einem prozentualen Wachstum von 3% pro Jahr

y = 20·1.03^x

wächst der Bestand meist nur einmal im Jahr um genau 3%. Also am Ende des Jahres kommen 3% an Zinsen zum Kapital dazu. Hier hat man unterjährig also keine Zinseszinseffekte

Bei einem stetigen Wachstum mit einer Wachstumsrate von 3% pro Jahr.

y = 20·e^(0.03·x)

wächst der Bestand in jedem Augenblick mit jährlich 3%. Also werden auch in jedem Augenblick immer Zinsen gutgeschrieben.

Hier hat man also auch unterjährige Zinseszinseffekte.

Wir erinnern uns evtl. an die Herleitung der Zahl e

y = K0 * (1 + p)^x bei jahrlicher Zinszahlung

y = K0 * (1 + p/2)^(2x) bei halbjahrlicher Zinszahlung

y = K0 * (1 + p/4)^(4x) bei vierteljahrlicher Zinszahlung

y = K0 * (1 + p/12)^(12x) bei monatlicher Zinszahlung

y = lim (n → ∞) K0 * (1 + p/n)^(nx) = K0 * e^(p·x) bei stetiger Zinszahlung

Comments

Ein schöne, sehr anschauliche Herleitung.

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Bei einem prozentualen Wachstum von 3 % pro Jahr
y = 20·1.03x
wächst der Bestand meist nur einmal im Jahr ...

Wenn ich kein Geld, sonden z.B. Bakterien habe, dann wächst die Anzahl kontinuierlich und ich kann sie zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen.

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Wichtig ist hier, dass die Wachstumsrate hier als "stetige Wachstumsrate" bezeichnet wird. Vielleicht sollte man besser sagen, das man eine momentane Änderungsrate von 3% hat. Das heißt, dass das die momentane Änderungsrate 3% vom Bestand ist.

Eigentlich sollte solche Definition aber auch in dem Buch stehen, wo das benutzt wird.

Steht also Iirgendwo die Bevölkerung wächst um 10% pro Jahr, dann wächst sie auch in einem halben Jahr, aber dann meint man das in einem Jahr 10% hinzu kommen.

Sagst du allerdings die Bevölkerung wächst mit einer stetigen Wachstumsrate von 10% dann ist dort explizit das stetige Wachstum gemeint und das bedeutet das die momentane Änderungsrate 10% des Bestandes beträgt.

Kleiner Tipp, wenn man bei einem Professor lernt, dann definiert er das meist vorneweg wie welche Wachstumsraten bezeichnet werden.

Answer 2

Hallo

Hallo Wachstumsrate ist f'/f nicht das prozentuale Wachstum

mit A'/A=0,03 kommt man auf  das Gesetz im Buch mit dem prozentualen Wachstum auf dein Gesetz.

Gruß lul

Comments

Vollständige Aufgabe:

Das Land A hat 20 Mio. Einwohner bei einer (stetigen) Wachstumsrate von 3 % jährlich. Das Land B mit 60 Mio. Einwohnern wächst mit einer jährlichen (stetigen) Wachstumsrate von 1 %.

(a) In wie vielen Jahren wird die Bevölkerung von A größer als die von B sein?

==> Mit welchem Ansatz würdest Du das rechnen?

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Eigentlich sollte stetige Verzinsung das gleiche wie exponentielles Wachstum sein?

Es ist das spezielle exponentielle Wachstum mit der Basis e.

Es werden ständig/stetig/ "sekündich" Kinder geboren.

e^(0,03n) = 1,03045^n

Das Wachstum ist etwa höher als bei 1,03^n.

Gerade bei solchen Prozessen ist das stetige Wachstum sinnvoll, weil

permanent Zuwachs stattfindet.

Wo in der Wirtschaft stetig verzinst wird, dafür habe ich spontan kein Beispiel.

Wenn du Geld mit 3% p.a. in immer kleineren Zeiteinheiten konform verzinst, z.B.

sekündlich, landest du ebenfalls bei e^(0,03n)

1000*(1+0,03/(365*24*3600)^(365*24*3600) = 1030,45

In der Wissenschaft wird meist mit e^x statt a^x gearbeitet.

Es gilt: a*x = e^(lna*x)

Es ergeben sich aucn Vorteilen beim Rechnen (logarithmieren).

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Hallo

eigentlich hast du doch den Ansatz A(t)=20*e^0,03t

B(t)=60*e^0,01t und dann A(t)=B(t)

lul

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Oder ich habe den Ansatz

\( 20*1.03^n = 60*1.01^n \)

(von dem ich immer noch meine, das er der richtige ist).

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Wo hast du 60*1,01^n her?

Sollst du einen Schnittpunkt mit einer anderen Funktion bestimmen?

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Hallo

du siehst immer noch nicht den Unterschied von 5 Wachstum und Wachstumsrate, zusätzlich muss eigentlich die 0,03 eine Dimension haben, und x muss bestimmt werden in x in Jahren!

dann gilt die Wachstumsrate die die Änderung vom A(x) bzw besser A(t) mit der Zeit

und es gilt A'(t)=0,03*A(t) daraus folgt die e- Funktion

wenn du deinen Ausdruck für nicht zu große Zeiten auswertest, bekommst du auch eine gute Näherung für die Zeit. Und da sich Bevölkerungen nich jedes jähr mit exakt 3,00% vermehren ist deine Rechnung auch dem Problem angepasst,

Irgendwann solltet ihr mal das Wort "Wachstumsrate" definiert haben?

lul