Bestimmen Sie alle kritischen Stellen, der Funktion in zwei Veränderlichen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x, y)=e^{x^{2}} .$
Bestimmen Sie - falls existent - alle kritischen Stellen, d.h. alle $(x, y)$ mit $f_{x}(x, y)=0$ und $f_{y}(x, y)=0$.
Hinweise:
- Falls es keine Lösung für $x$ bzw. y gibt, verwenden Sie die Notation $x=t$ bzw. $y=[s$.
- Falls $x$ bzw. $y$ beliebig gewählt werden, verwenden Sie einen freien Parameter, beispielsweise $x=t$ bzw. $y=s$.

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis:

$\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=\mathrm{e}^{\wedge} \mathrm{x}^{\wedge} 2^{*} 2^{*} \mathrm{x} \quad \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ 0 \quad, y=\mathrm{s} \quad\} \\\end{array}$

$f_{y}(x, y)=0 \quad \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right.$
$\mathrm{t} \quad, y=0$

Die Menge an kritischen Stellen lautet also:
$L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0 \quad, y=0 \quad\right\}$

Hab ich das alles richtig gerechnet, oder ist irgendwo noch etwas falsch?

Answer 1

Also ich würde sagen, dass da bei der Ableitung nach y noch was falsch ist.

Die Lösungsmenge ist nicht y = 0, sondern y = beliebig, weil die Ableitung unabhängig von y immer Null ist.

Comments

Die Lösungsmenge ist nicht y = 0, sondern y = beliebig, weil die Ableitung unabhängig von y immer Null ist.

Das sehe ich auch so!

Answer 2

Wo ist das y in f(x,y) ?

Comments

In der Aufgabe ist ja kein y sondern e^x^2 deswegen dachte ich wenn man das partiell ableitet kommt 0 raus.

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Ohne y macht f(x,y) keinen Sinn.

So muss die Funktion lauten: f(x) = e^(x²)

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ja stimmt die aufgabenstellung ist dann falsch oder?

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Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x, y)=e^{x^{2}}$

das ist die Aufgabenstellung.

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In der Aufgabe ist ja kein y sondern ex^2 deswegen dachte ich wenn man das partiell ableitet kommt 0 raus.

Das ist korrekt, f(x,y) ist bzgl. y eine Konstante.

@ggT22: warum sollte $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$

$(x,y)\mapsto e^{x^2}$ keine Funktion in zwei Variablen sein?

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danke @ermanus

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Du kannst keine partiells Abl. bilden.

Du kannst nur f(x) ableiten.

f '(x) = e^(x²) *2x

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Du kannst keine partiells Abl. bilden.

Das ist falsch.

f(x) = 1

ist eine Funktion in einer Veränderlichen

f(x, y) = 1

ist eine Funktion in zwei Veränderlichen.

Und das auch, obwohl in den Funktionsterm gar kein x und auch gar kein y steht.

Wenn kein y in dem Funktionsterm steht ist die partielle Ableitung nach y gleich Null. Aber damit die Ableitung gleich Null ist muss y eben nicht Null sein. Das war der Irrtum des Fragestellers.

Kritische Stellen sind also bei (0, y)

Skizze

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Du kannst keine partielly Abl. nach y bilden.

Wieso nicht?

$f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=$

$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2}-e^{x^2}}{h}=0$

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@ermanus:

Ich habe so etwas noch nie gesehen.

Wie kann man von f(x,y) sprechen, wenn y nicht vorkommt?

Wie soll man sich das vorstellen?

Punkte einer Ebene werden auf eine Gerade abgebildet??

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Wie stellst du dir

f(x) = 1

vor, wenn dort kein x drin vorkommt? Und ich nehme an sowas hast du schon mal gesehen, oder nicht?

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Mich irritiert, das 2 Funktionsvariabeln genannt werden, von denen 1 nicht auftritt.

Ich sehe keine Analogie zu f(x) = 1, einer Parallelen zur y-Achse.

f(x)= y= 1

Was genau willst du damit sagen?

Was ist mit f(x,y) = e^(x²) gemeint?

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Was ist mit $f(x,y) = e^{x^2}$ gemeint?

Gemeint ist damit die linkstotale, rechtseindeutige Relation

$f=\{((x,y),e^{x^2}): \; x,y\in \mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}$