Funktionen aufstellen - Informationen aus Aufgabe herauslesen

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades berührt die Abszissenachse bei x = 2 und hat Wendepunkte im Ursprung und bei x = 1,5. Die Steigung im Ursprung beträgt 1.

Problem/Ansatz:

Ich möchte hierbei alle Informationen rauslesen, das habe ich bereits. Bitte bei Bedarf ergänzen, korrigieren.

- Berührt die Abszissenachse bei x = 2 -> f´(2) = 0

- Wendepunkt im Ursprung -> f(0) = 0 und f´´(0) = 0

- Wendepunkt bei x = 1,5 -> f(1,5) = 0 und f´´(1,5) = 0

- Steigung im Ursprung beträgt 1 -> f´(0) = 1

Answer 1

f(2) = 0

f(1) = 0

Das Gleichungssystem ist überbestimmt.

Comments

Wie kommt es zu f(2) = 0 und f(1) = 0 ?

Meines Wissens nach ist „berührt“ f´(x)

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Berühren der Abszisse bei x=x0 bedeutet: f(x0)= 0 UND f '(x0) = 0.

die die Steigung m= 0 hat.

Wenn die Steigung im Ursprug gegeben ist, muss f(x) auch durch diesen gehen.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich, besitzen also einen Berührpunkt PB(xB|yB), wenn die zugehörigen Funktionen f und g an diesem Punkt sowohl gleiche Funktionswerte als auch gleiche Werte der ersten Ableitung haben:

Die x-Achse hat die Gleichung: f(x) = y =0 -> f '(x) = 0 für alle x.

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Was soll f(1) = 0 sein?

Bei M2345 ist noch f(1,5) = 0 eine Annahme, die so nirgends steht. Es ist nur von einem Wendepunkt an der Stelle x = 1,5 die Rede. Nicht von W(1,5|0).

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Korrektur:

f(0) =1 war Unsinn.

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Korrektur:

f(0) =1 war Unsinn.

Korrektur der Korrektur:

f(1) = 0 war Unsinn.

Answer 2

Der Graph berührt die Abszissenachse bei x = 2 bedeutet: Der Funktionsterm enthält den Faktor (x-2)².

Die Steigung im Ursprung beträgt 1 bedeutet einerseits, dass der Faktor x im Funktionsterm enthalten ist und andererseits f'(0)=1

Der Graph hat Wendepunkte im Ursprung und bei x = 1,5 ist ein Wendepunkt zu viel. Lassen wir also eine davon weg und wählen f ''(1,5)=0.

Dann lautet der Ansatz: f(x)=a·(x-2)²·x·(x-b).

f'(0)=1 führt dann zu    (1)    1=-4ab.

f ''(1,5)=0 führt dann zu (2) 1,5=8a·(b+1).

(1) und (2)  werden von a=7/16 und b= - 4/7 gelöst. Setzt man dies in den Ansatz ein, ergibt sich eine Funktion mit diesem Schaubild:

Comments

Du kannst doch nicht einfach eine Bedingung weglassen, ohne sie danach zu überprüfen?

Answer 3

Huhu,

ich probiere es selbst mal^^.

- Berührt die Abszissenachse bei x = 2 -> f´(2) = 0 und f(2) = 0 (weil wir hier die x-Achse berühren)

- Wendepunkt im Ursprung -> f(0) = 0 und f´´(0) = 0

- Wendepunkt bei x = 1,5 -> f(1,5) = 0 und f´´(1,5) = 0 Davon steht nichts im Text.

- Steigung im Ursprung beträgt 1 -> f´(0) = 1

Wie die anderen schon festgestellt haben, ist das Gleichungssystem damit überbestimmt.

Eine Möglichkeit ist es eine Bedingung wegzulassen -> die am Ende dann zu überprüfen. Ich lasse mal f(0) = 0 weg.

f(2) = 0

f'(2) = 0

f''(0) = 0

f''(1,5) = 0

f'(0) = 1

Das ergibt: f(x) = 0,25x^4 - 0,75x^3 + x

f(0) = 0 passt dazu. Auch der Graph sieht schmackhaft aus :).

~plot~ 0,25*x^4 - 0,75*x^3 + x ~plot~

Grüße

Answer 4

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(2) = 0
f'(2) = 0
f(0) = 0
f'(0) = 1
f''(0) = 0
f''(1.5) = 0

Gleichungssystem

32·a + 16·b + 8·c + 4·d + 2·e + f = 0
80·a + 32·b + 12·c + 4·d + e = 0
f = 0
e = 1
2·d = 0
135/2·a + 27·b + 9·c + 2·d = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 0,25·x^4 - 0,75·x^3 + x

Skizze

~plot~ 0,25x^4-0,75x^3+x ~plot~