Die kleinste Summe eines Körpers berechnen?

Question

Aufgabe:

Ein Tetraeder T hat die Ecken A=(0,0,0) , B=(2,0,0), C =(0,3,0) und D=(0,0,4). Sei S die Summe der Quadrate der Entfernungen eines Punktes des Raums \( ℝ^{3} \) von den ecken des Tetraeders T.

a.) Suchen sie den Punkt P₁ im Raum \( ℝ^{3} \), für den die Summe S am kleinsten ist und bestimmen Sie diese Summe.

b.) Wo liegt der Punkt P₂ mit der kleinsten Summe S, wenn man zusätzlich fordert, dass der Punkt auf der Kugel K = { x ∈ \( ℝ^{3} \) | x^2 + y^2 + z^2 = 1} liegen soll?

c.) Wo liegt der Punkt P₃ mit der kleinsten Summe S, wenn er nicht nur auf der Kugel K aus b.), sondern auch noch auf der Ebene E = {x ∈ \( ℝ^{3} \) | x + y + z = 0 } liegen soll?

Problem/Ansatz:

a.) hab ich die Summe S ist 4 für den Punkt p1 (0,0,0)

b.) Die Summe S für P2 (1,0,0) beträgt 8

c.) /

weiß jemand ob das richtig ist bzw. kann bei c helfen?

Answer 1

a.) hab ich die Summe S ist 4 für den Punkt p1 (0,0,0)

Echt? Wenn P1 tatsächlich (0|0|0) wäre:

2²+3²+4² ist nicht 4.

Comments

Ausgangsformel; S = d(A, P1)^2 + d(B, P1)^2 + d(C, P1)^2 + d(D, P1)^2

Mein S ist; S = 4x^2 + 11y^2 + 18z^2 + 4 + 16z^2

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Dein S sollte sein: (x²+y²+z²) +((x-2)²+y²+z²)+(x²+(y-3)²+z²) + (x²+y²+(z-4)²).

Answer 2

Wie kommst du denn auf deine Summe S? Ich komme auf

S = 4·x^2 - 4·x + 4·y^2 - 6·y + 4·z^2 - 8·z + 29

Comments

Ich habe jetzt:

S=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2

S=x^2+y^2+z^2+(x-2)^2+y^2+z^2+x^2+(y-3)^2+z^2+x^2+y^2+(z-4)^2

S=4x^2+3y^2+4z^2-4x-6y-8z+29

d = entfernungen von p1 und den eckpunkten

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Entweder hast du einen Tippfehler oder einen klitzekleinen Rechenfehler gemacht.

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Habe den Fehler gefunden und jetzt auch auf den Punkt und das S.

Für b hab ich:

L(x, y, z, λ) = S - λ(x² + y² + z² - 1)= 4x² + 4y² + 4z² - 4x - 6y - 8z + 29 - λ(x² + y²

+ z² - 1)

nehmen wir die partiellen Ableitungen von L nach x, y, z und λ:

∂L/∂x = 8x - 4 - 2λx = 0
∂L/∂y = 8y - 6 - 2λy = 0
∂L/∂z = 8z - 8 - 2λz = 0
∂L/∂λ = x² + y² + z² - 1 = 0

1.8x - 4 - 2λx = 0
(8 - 2λ)x = 4
x = 4 / (8 - 2λ)

2.8y - 6 - 2λy = 0
(8 - 2λ)y = 6
y = 6 / (8 - 2λ)

3.8z - 8 - 2λz = 0
(8 - 2λ)z = 8
z = 8 / (8 - 2λ)

in die Bedingung x² + y² + z² = 1:

(4 / (8 - 2λ))² + (6 / (8 - 2λ))² + (8 / (8 - 2λ))² = 1

Gleichung nach λ auflösen:
(16 / (8 - 2λ)²) + (36 / (8 - 2λ)²) + (64 / (8 - 2λ)²) = 1
16 + 36 + 64 = (8 - 2λ)²
116 = (8 - 2λ)²
√116 = 8 - 2λ
2λ = 8 - √116
λ = (8 - √116) / 2

x = 4 / (8 - 2λ)
y = 6 / (8 - 2λ)
z = 8 / (8 - 2λ)

λ = (8 - √116) / 2 ≈ 0.4495 

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Wenn nach einem Punkte P1 bzw. P2 gefragt ist, dann erwarte ich auch als Lösung irgendwo diesen Punkt.

Hier ein Ergebnis für b) von meinem Freund Wolfram.

min{4 x^2 - 4 x + 4 y^2 - 6 y + 4 z^2 - 8 z + 29|x^y + x^2 + z^2 = 1}≈22.2017 at (x, y, z)≈(0.264777, 0.817153, 0.769604)

Answer 3

Die Lösung vom Mathecoach ist richtig.

a) Leite nach x, nach y und nach z ab und setze jeweils die Ableitung 0.

Dann ist [\( \frac{1}{2} \) |\( \frac{3}{4} \) |1] der gesuchte Punkt.