Kreuzen Sie alle wahren Aussagen an.

Question

Sei \( m \in \mathbb{N} \) und \( U \in \mathbb{C}^{m, m} \) unitär. Die Spalten von \( U \) bezeichnen wir mit \( u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m} \), d.h. es ist \( U=\left[u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}\right] \). Kreuzen Sie alle wahren Aussagen an.
Hinweis: Für \( U, V \in \mathbb{C}^{m, m} \) mit \( U \) unitär gilt: \( U V \) unitär \( \Longleftrightarrow V \) unitär.

a. \( \left[-u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}\right] \) ist unitär
b. \( \left[-u_{1},-u_{2}, \ldots,-u_{m}\right] \) ist unitär
c. \( \left[2 u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}\right] \) ist unitär
d. \( \left[i u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}\right] \) ist unitär

Ich habe a, b und d angekreuzt aber ich bin mir nicht sicher

Answer 1

Dein Ergebnis ist richtig. Aber es geht ja nicht darum die Häkchen richtig zu setzen, sondern die Idee der Aufgabe zu verstehen.

Du solltest den Hinweis benutzen: Das Produkt zweier unitärer Matrizen ist wieder unitär.

Jede der vier Matrizen lässt sich schreiben als \(U\cdot A\) mit einer Matrix \(A\), die man dann noch auf unitär prüfen muss. Was aber nicht so schwer ist, denn in allen vier Fällen ist \(A\) eine Diagonalmatrix, die der Einheitsmatrix sehr ähnlich ist. In den vier Matrizen sind im Vergleich zu \(U\) nur Spalten mit Faktoren multipliziert, überlege Dir, wie man diese Operation durch Rechtsmultiplikation mit einem \(A\) bewerkstelligt.

Zum Widerlegen von c) gibt man am besten ein Gegenbeispiel (die Aussagen sind ja so gemeint, dass sie für alle unitären \(U\) gelten sollen.

Wenn Du das alles schon so gemacht hast, prima.