Drachen im rechtwinkligen Dreieck

Question

Einem rechtwinkligen Dreieck kann auf drei verschiedene Arten ein Drachen so einbeschrieben werden, dass Dreieck und Drachen in einer Seite und einen anliegenden Winkel übereinstimmen. In welchem Intervall muss das Verhältnis der Kathetenlängen liegen, damit derjenige der flächengrößte von den drei Drachen ist, dessen Symmetrieachse durch den rechten Winkel des Dreiecks geht?

Comments

Darf der Drache auch entartet sein?

lul

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Bilde den Grenzwert zum entarteten Drachen hin, dann ist das Verhältnis 1:1, auch wenn der Drache nicht entartet ist.

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Die Lösung ist mMn ein Intervall

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Hallo Roland,

Einem rechtwinkligen Dreieck kann auf drei verschiedene Arten ein Drachen so einbeschrieben werden, dass Dreieck und Drachen in einer Seite und einen anliegenden Winkel übereinstimmen.

Ist das so gemeint wie hier gezeichnet?

Answer 1

Hallo Roland,

Die Flächen der Drachen lassen sich relativ leicht berechnen, wenn man sich zu Nutze macht, dass eine Winkelhalbierende eine Strecke, deren Endpunkte auf den Schenkeln des Winkels liegen, im gleichem Verhältnis teilt, wie die Abschnitte auf den Schenkeln.

Wenn ich die Fläche des ersten Drachens im Bild unter Deiner Frage mit $F_a$ und die des mittleren mit $F_c$ benenne sowie die Seiten des Dreiecks in der üblichen Weise, so sind die Flächen$$F_a = \frac{ab^2}{b+c} \\ F_c = \frac{a^2b}{a+b}$$Es reicht aus, diese beiden zu vergleichen. Damit $F_c$ am größten wird, muss gelten$$\begin{aligned} F_c &\gt F_a \\ \frac{a^2b}{a+b} &\gt\frac{ab^2}{b+c} &&|\,\div ab\\ \frac{a}{a+b} &\gt\frac{b}{b+c} &&|\,\cdot \text{HN}\\ ab + ac &\gt ab + b^2 \\ ac &\gt b^2 &&|\, \tau = \frac{a}{b} \implies a = \tau b\\ \tau b \sqrt{\tau^2b^2 + b^2} &\gt b^2 &&|\, \div b^2 \\ \tau \sqrt{\tau^2 + 1} &\gt 1\\ \tau^4 + \tau^2 &\gt 1 \\ \tau^4 + \tau^2 + \frac14 &\gt \frac{5}{4} \\ \left(\tau^2 + \frac{1}{2}\right)^2 &\gt \frac{5}{4} \\ \tau^2 &\gt -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5} \\ \tau & \gt \frac{1}{\sqrt{\Phi}} \end{aligned}$$aus Gründen der Symmetrie ist demnach $F_c$ die größte der drei Flächen, wenn gilt$$\frac{1}{\sqrt{\Phi}} \lt \frac{a}{b} \lt \sqrt{\Phi}$$Gruß Werner

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Ich hätte besser nach dem Intervall fragen sollen, in dem das Längenverhältnis liegen muss.

Answer 2

Wenn die Symmetrieachse des Drachens durch den rechten Winkel des Drachens gehen soll, so ist der entstehende Drachen ein Quadrat ganz egal wie lang dabei die Katheten des Dreiecks sind.

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"einbeschrieben" soll ja wohl heißen, dass drei der vier Drachen-Seiten auf den Dreiecks-Seiten liegen müssen (womit die Forderung nach der Winkel-Inzidenz sich von selbst erfüllt) und jetzt weiter sogar eine davon die ganze Dreiecks-Seite abdecken soll.