Bestimme alle x∈R mit (ln(x))x = 1

Question

Aufgabe: Bestimme alle x∈R mit (ln(x))^x = 1

Lösung ist x = e

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht wie man rechnerisch auf das Ergebnis kommt (x = e).

Comments

Es ist genau dann a^b = 1, wenn

a=1

oder

a≠0 und b=0

Also schaue ob du x findest mit

ln(x)=1

oder

ln(x)≠0 und x=0

Answer 1

Du kannst die Gleichung wie folgt umstellen:

ln(x)^x = 1 (x-te Wurzel ziehen, das geht hier weil x wegen der Definition von der ln-Funktion sowieso größer als 0 sein muss)

ln(x) = 1^(1/x) = 1 (für alle x größer 0 ist die x-te Wurzel von 1 sowieso 1, dann die Exponentialfunktion hier in die Gleichung anwenden)

e^(ln(x)) = e¹ (e^(ln(x)=x)

=> x = e

Answer 2

Aloha :)

Für alle $x\in\mathbb R$ gilt: $1^x=1$. Daher kannst du schreiben:$$\left(\pink{\ln(x)}\right)^x=1=\pink1^x$$Da die Exponenten beide $x$ sind, müssen die Basen gleich sein, also $\pink{\ln(x)}={\pink1}$.

Daher ist $\boxed{x=e}$.

Comments

Wie löst du, wenn statt 1  z.B. 2 stünde?

Dann geht da algebraisch nichts mehr, oder?

Answer 3

gelöscht

-----------------------------