Wie berechnet man x'(3) und y'(3)?

Question

Aufgabe:

Ist das Gleichungssystem
$\begin{array}{r} x^{3}+y^{2}-z=0 \\ x^{2}-2 x y-z=2 \end{array}$
im Punkt $p=(-1,2,3)$ nach den Variablen $x, y$ (als Funktion von $z$ ) auflösbar? Berechnen Sie $x^{\prime}(3)$ und $y^{\prime}(3)$.

Problem/Ansatz:

Hey Mathefreunde, ich habe mal wieder eine schöne Aufgabe mitgebracht, bei der ich nicht weiter weiß. \\

Also der Anfang ist klar. Ich setze in beide Gleichungen den Punkt P ein und überprüfe, ob beide Gleichungen erfüllt sind. Das ist hier der Fall. Allerdings weiß ich nicht, wie ich an $x^{\prime}(3)$ und $y^{\prime}(3)$ komme und von welcher Gleichung ich die errechne. Wie gehe ich da vor ? Was berechnet  $x^{\prime}(3)$ und $y^{\prime}(3)$  ? Und wie kann ich vlt. die beiden Gleichungen anders darstellen, damit die Aufgabe leichter nachzuvollziehen wird ?
Ich bin für jede Antwort dankbar!! Vielen Dank für eure Zeit!

Comments

Ok, was wenn ich die beiden Gleichungen addiere und somit das z eliminiere. Dann habe stelle ich die Gleichung nach x um. Ich erhalte die Gleichung x=....irgendwas mit y.... . Also habe quasi die Funktion x(y)=... , welche ich dann nach y ableite und und dann einfach die 3 einsetze für x'(3). Gleiche gilt für y. Aber warum sollte ich die Gleichungen zu Beginn addieren dürfen ? Die Aufgabe sagt ja gar nicht, dass x'(3) von der aus der Addition der beiden Gleichungen resultierenden Funktion berrechnet werden soll. Oder doch ? :)

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Vielleicht hilft es, die Erklärungen von nudger mit denen aus Deinem Lehrmaterial zu ergänzen? Stichwort "implizite Funktionen"

Answer 1

Hallo,

ich finde die Aufgabe interessant, daher hier noch mal eine ausführliche Erklärung, obwohl nudger ja bereits alles geschrieben hat. Das gegebene Gleichungssystem ist$$\begin{array}{r} x^{3}+y^{2}-z=0 \\ x^{2}-2 x y-z=2 \end{array}$$Das sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wenn Lösungen existieren, so kann man diese als Punkte im Raum auffassen. Und da wir hier bei 3 Unbekannte (minus) 2 Gleichungen genau einen Freiheitsgrad haben, ist dies wahrscheinlich eine Kurve im Raum.

Zum Vergleich: Wären die Gleichungen linear, so wäre es i.A. die Schnittmenge zweier Ebenen und damit eine Gerade.

Eine Lösung ist bekannt: $P=(-1|\,2|\,3)$. Die Frage ist, ob die Variablen $x$ und $y$ als Funktion nach $z$ auflösbar sind, also ob die Funktionen existieren:$$z \to x(z), \quad z\to y(z)$$Weiter ist nach den Ableitungen $x'(3)$ und $y'(3)$ in $P$ gefragt und gemeint ist die Ableitung nach $z$!

Nun kann man jeden Ausdruck - z.B. $x^3$ - nach $z$ ableiten, wenn man davon ausgeht, dass $x(z)$ existiert (Kettenregel)$$\frac{\partial x^3}{\partial z} = 3x^2\cdot x'$$Und genau das kann man auch für die impliziten Funktionen hier machen:$$\begin{array}{r} 3x^{2}x'+2yy'-1=0 \\ 2xx'-2(x'y + xy')-1=0 \end{array}$$Jetzt ein wenig sortieren und das ganze als Matrix-Vektor-Produkt sieht so aus:$$\begin{pmatrix} 3x^2 & 2y \\ 2x-2y & -2x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$Mit einem bekannte Paar $x$, $y$ lassen sich nun die Ableitungen berechnen. Einsetzen von $x=-1$ und $y=2$ aus $P$ gibt:$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}(z=3) = \frac{1}{30}\begin{pmatrix} -2\\9 \end{pmatrix}$$

Aber warum sollte ich die Gleichungen zu Beginn addieren dürfen ?

Durch 0 teilen sollte man nicht, ansonsten darf man ziemlich viel. Die Frage ist doch, was kommt dabei heraus, wenn man die Gleichungen subtrahiert und damit $z$ eliminiert? Rein formal gibt das$$x^{3}+y^{2}-\left(x^{2}-2xy\right)=-2$$und das ist wiederum ein Kurve in der Ebene und die sieht so:

Was man hier sieht sind Paare von $x$ und $y$, die das Gleichungssystem für ein (noch unbekanntes) $z$ erfüllen würden. Mit anderen Worten: der rote Graph oben ist eine Projektion der Raumkurve, die durch das Gleichungssystem gegeben ist, in die XY-Ebene.

Und $x'$ ist die Änderung von $x$, wenn sich $z$ um den Wert 1 ändert, und $y'$ ist die Änderung von $y$, wenn sich $z$ um 1 ändert. Also ist der Richtungsvektor der Kurve - ich nenne sie mal $\gamma$$$\gamma' = \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \gamma'(z=3) = \begin{pmatrix} -1/15\\ 3/10\\ 1 \end{pmatrix}$$und die grüne Strecke oben im Bild ist die Projektion des Richtungsvektors in $P$ auf die XY-Ebene.

Schön wär's natürlich, sich die Kurve $\gamma$ auch in 3D ansehen zu können. Dazu habe ich für die ganzzahligen Z-Werte von $-4$ bis $4$ die Punkte im Raum und die dazu gehörigen Richtungsvektoren berechnet und hier dargestellt:

Der grüne Vektor ist $\gamma'(z=3)$. Klick drauf, dann öffnet sich Geoknecht3D und man kann die Szene mit der Maus rotieren. Dann bekommt man einen guten räumlichen Eindruck.

Gruß Werner

Comments

ist dies wahrscheinlich eine Kurve im Raum.

Nicht nur "wahrscheinlich". Der Satz über implizite Funktionen garantiert, dass das Gleichungssystem lokal eine über z parametrisierbare Kurve definiert.

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Sehr sehr stark. Vielen Dank für die Mühe!!

Answer 2

Du hast eine Gleichung der Form F(x,y,z)=0. Du suchst Funktionen x,y so, dass F(x(z),y(z),z)=0 für alle(?) z erfüllt ist.

Bilde also diese Gleichung(en), also $(x(z))^3+(y(z))^2-z=0$ und analog für die zweite Gleichung. Dann leite beide Gleichungen nach z ab (Kettenregel!, in der zweiten Gleichung auch Produktregel). Das ergibt ein LGS in den zwei Unbekannten x'(z) und y'(z) (da sind auch noch andere Größen drin, aber uns interessieren ja nur diese beiden). Setze z=3 ein. Die anderen Größen kennst Du aus dem Punkt P. Nun hast ein einfaches LGS, schreibe das in Matrix-Vektor-Form, Vektor ist also (x'(3),y'(3)).

Zur Kontrolle: Ich komme auf (ohne Gewähr): x'(3)=-1/15, y'(3)=3/10.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Ich verstehe noch nicht ganz, wie ich auf x(z) komme. Könnten Sie mir das bitte noch mal erläutern ? :)

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Das war eine Schritt-für-Schritt-Anleitung. Hast Du die Ableitungen allgemein berechnet? Kannst Du die Funktion f(x)=(g(x))³ ableiten? Um so was geht es.

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Sry der Kommentar hilft mir leider nicht. x(z) kann ich berechnen, indem ich die erste Gleichung nach y umstelle und das dann wiederum für y in die erste Gleichung einsetze. Dann erhalte ich eine Gleichung mit 2 statt 3 Variablen, die ich dann nach x umstellen kann, so dass x=...irgendwas mit z... darsteht. So würde ich x(z) berechnen. Allerdings bin ich mir wie in der Frage gesagt nicht sicher, was x(z) oder x'(z) bedeutet. Würden Sie es mir bitte erklären?

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Ich hab dir eine Anleitung geschrieben, der willst du anscheinend nicht folgen und einen anderen Weg suchen. Den verstehe ich aber nicht, bzw. geht es ja darum, die Situation ohne Auflösen zu handhaben, also wenn das Auflösen nicht geht. Das ist der Sinn des Satz über implizite Funktionen.

Das explizite Auflösen, wenn es überhaupt ginge, ist erheblich aufwendiger und geht oft gar nicht.

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Meister genau der Anleitung versuche ich doch zu folgen. 1. Schritt "Bilde also diese Gleichung(en), also $(x(z))^3+(y(z))^2-z=0$ und analog für die zweite Gleichung." Wie also bilde ich x(z) und y(z) ? Was bedeutet x(z) und y(z) ?

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Und jetzt sollst du dir Gleichungen ableiten, nach z. Dazu muss man x(z) und y(z) nicht kennen.

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so wahrscheinlich nicht, oder ? :D

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Kettenregel. Und was gibt z nach z abgeleitet? Ich halte die Notation mit Differentialen hier nicht für hilfreich.

Nochmal meine Frage/Tipp von oben: kannst du (g(x))³ nach x ableiten?

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d/dx [(g(x))³] = g'(x)*3*g(x)², richtig ?
Gut dann probiere ich es mal so. Aber warum du aufeinmal x(z) für x einsetzt ist mir noch schleierhaft muss ich sagen. xD

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Diese Ableitung stimmt.

... Weil in der Aufgabe (lies nach) steht: x,y als Funktionen von z.