Hallo,
es geht um folgende Aufgabe: 1b
lass uns erstmal 1a) machen. Du hast nichts dazu geschrieben.
Wenn es ein y=y(x) und z=z(x) gibt, mit y(0)=1 und z(0)=1, dann bedeutet das doch, dass das Zahlentripel (x=0,y=1,z=1) das Gleichungssystem löst. Einsetzen gibtex+αy2z−z=βx2+αy2ln(z)−xy=01+α−1=βαln(1)=0Die zweite Gleichung ist immer erfüllt, da ln(1)=0 und aus der ersten folgt α=β.
Mit 1b) kommt jetzt die Ableitung in's Spiel, also leite beide Gleichungen nach x ab. Nach der Kettenregel ist z.B. (y2)′=2yy′ usw.ex+α(2yy′z+y2z′)−z′=02x+α(2yy′ln(z)+zy2z′)−(y+xy′)=0Jetzt noch sortieren, so dass es sich als Matrix-Vektor-Produkt darstellt:(2αyz2αyln(z)−xαy2−1αy2/z)(y′z′)=(−exy−2x)In der Aufgabenstellung wird nun gefordert, dass y′(0)=−1/2 und z′(0)=1 ist. Dies und das bekannte Tripel von oben setzt man in die Gleichung ein(2α0α−1α)(−1/21)=(−11)⟹α=1Das sind zwar zwei Gleichungen für eine Unbekante α, aber in jedem Fall ist die Lösung α=1.
Und damit α=β=1.
Gruß Werner