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Aufgabe:


es geht um folgende Aufgabe: 1b

Screenshot (59).png




Problem/Ansatz:

Untitled - 2023-09-08T113300.801.jpg

Es erscheint unlogisch da y´(x) ja keine Matrix ist.

Eine allgemeine Frage zur Aufgabe:


Kann man das LGS als Vektorfunktion darstellen?

f \vec{f} (ex+ay2zzBx2+ay2lnzxy) \begin{pmatrix} e^x + ay^2z - z - B\\x^2 + ay^2lnz - xy\\ \end{pmatrix} 0 \vec{0}



LG

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Ja, das kann und soll man. Allerdings solltest Du f(x,y,z) schreiben, weil a und B hier Parameter sind.

Was Du unter Ansatz geschrieben hast, kann ich nicht nachvollziehen.

für y´(x) haben wir in der VL folgende Formel, die für skalarwertige Funktionen f(x,y,z) gilt:


delydelx \frac{del y}{del x} = - delf/delxdelf/dely \frac{del f / del x}{del f / del y}          (partiellen Ableitungen)


Da f(x,y,z) jetzt in obiger Aufgabe 2-dimensional ist, weiß ich nicht genau wie man die Formel verwenden kann.

Diese Formel gilt, wenn f nur von x und y abhängt und eindimensional ist.

Vielleicht habt Ihr ja auch eine allgemeinere Formel angegeben.

Untitled - 2023-09-08T131215.435.jpg

Text erkannt:

dy(x)=(dy(x,y))1dx(x,y) d y(x)=-(d y(x, y))^{-1} \cdot d_{x}(x, y)

Man braucht die Inverse Matrix von dy

Untitled - 2023-09-08T131810.600.jpg

Text erkannt:

dfx=(ex2xy)(0,1)=(11)dfx1=(10) \begin{array}{l}d_{f_{x}}=\left(\begin{array}{l}e^{x} \\ 2 x-y\end{array}\right)_{(0,1)}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \\ \Rightarrow d_{f_{x}}^{-1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\end{array}

Das ist kein LGS (lineares Gleichungssystem)!

verstehe ich nicht ...

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe: 1b

lass uns erstmal 1a) machen. Du hast nichts dazu geschrieben.

Wenn es ein y=y(x)y=y(x) und z=z(x)z=z(x) gibt, mit y(0)=1y(0)=1 und z(0)=1z(0)=1, dann bedeutet das doch, dass das Zahlentripel (x=0,y=1,z=1)(x=0,\,y=1,\,z=1) das Gleichungssystem löst. Einsetzen gibtex+αy2zz=βx2+αy2ln(z)xy=01+α1=βαln(1)=0\begin{aligned} e^{x}+\alpha y^2z - z = \beta \\ x^{2} + \alpha y^{2}\ln(z) - xy = 0 \\ \hline 1+\alpha - 1 = \beta \\ \alpha \ln(1)= 0 \\ \end{aligned}Die zweite Gleichung ist immer erfüllt, da ln(1)=0\ln(1)=0 und aus der ersten folgt α=β\alpha = \beta.

Mit 1b) kommt jetzt die Ableitung in's Spiel, also leite beide Gleichungen nach xx ab. Nach der Kettenregel ist z.B. (y2)=2yy(y^2)' = 2yy' usw.ex+α(2yyz+y2z)z=02x+α(2yyln(z)+y2zz)(y+xy)=0\begin{aligned} e^{x}+\alpha\left(2 yy'z + y^2z'\right) - z' = 0 \\ 2x + \alpha \left(2yy'\ln(z) + \frac{y^2}{z}z'\right) - (y + xy') = 0 \\ \end{aligned}Jetzt noch sortieren, so dass es sich als Matrix-Vektor-Produkt darstellt:(2αyzαy212αyln(z)xαy2/z)(yz)=(exy2x)\begin{pmatrix} 2\alpha yz & \alpha y^2-1 \\ 2\alpha y\ln(z)-x & \alpha y^2/z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y'\\z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -e^{x}\\y-2x \end{pmatrix} In der Aufgabenstellung wird nun gefordert, dass y(0)=1/2y'(0)=-1/2 und z(0)=1z'(0)=1 ist. Dies und das bekannte Tripel von oben setzt man in die Gleichung ein(2αα10α)(1/21)=(11)    α=1\begin{pmatrix} 2\alpha & \alpha-1 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \implies \alpha = 1Das sind zwar zwei Gleichungen für eine Unbekante α\alpha, aber in jedem Fall ist die Lösung α=1\alpha=1.

Und damit α=β=1\alpha=\beta=1.

Gruß Werner

Avatar von 49 k

Das hilft mir jetzt echt weiter. Vielen Dank!!

Zur Sicherheit: Bei 1a ist die Existenz der Funktionen nach dem Satz über implizite Funktionen nur für a ungleich 0 gesichert.

dass a ungleich 0 ist errechnet man mithilfe von:


det dy,z    ≠ 0

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