Beweise: Es gibt eine Abbildung wenn f surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Allbildung. Die identische Abbildung lX : X → X ist die Funktion mit lX (x) = x. Beweise:
(a) Es gibt eine Abbildung h : Y → X so dass f ◦ h = 1lY genau dann, wenn f surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Y geht ja durch h auf X und durch f dann wieder auf Y identisch zurück. Das nur wenn f surjektiv ist, da alle werte genau identisch abgebildet werden müssen, da dir Verkettung y identisch abbildet, muss f ja die Umkehrabbildung sein…aber wie beweise ich das? Danke schonmal für die Hilfe.

Answer 1

⇒: Angenommen $f$ ist nicht surjektiv.

Sei $y\in Y$ mit $f(x)\neq y$ für alle $x\in X$.

Begründe warum so ein $y$ existiert.

Begründe warum

        $f(h(y))\neq y$

ist.

⇐: Angenommen $f$ ist surjektiv.

Sei $x_y\in X$ mit $f(x_y) = y$ für jedes $y\in Y$.

Begründe warum für jedes $y\in Y$ ein passendes $x_y$ existiert.

Sei

        $h:Y\to X, y\mapsto x_y$.

Begründe warum

        $f(h(y)) = y$

für jedes $y\in Y$ ist.