Löse durch Substitution Exponetialgleichung

Question

Aufgabe:

Löse durch Substitution

5^2x - 2*5^x = 15

Problem/Ansatz:

52x - 2*5x = 15  | -15

5^2x - 2*5^x -15 = 0 

5^2x - 10^x -15 = 0

was kann ich hier nun Substituieren um diese Gleichung lösen zu können?

Answer 1

5^(2·x) - 2·5^x = 15

(5^x)^2 - 2·5^x = 15

Subst. 5^x = z

z^2 - 2·z = 15

z^2 - 2·z - 15 = 0

(z - 5)·(z + 3) = 0

z = 5 → 5^x = 5 → x = 1

z = -3 → 5^x = -3 → Keine Lösung für x

Answer 2

Setze \(y=5^x\). Dann geht die Gleichung über in

\(y^2-2y-15=0\iff (y-5)(y+3)=0\iff y=5\;\vee\; y=-3\).

Nun resubstituiere.

Bedenke dabei, dass \(5^x>0\), so dass die Lösung \(y=-3\)

nicht in Frage kommt.

Answer 3

Lösungsweg, wenn keine Vorgaben zu beachten sind:

\(5^{2x}  - 2*5^{x} = 15\)

\((5^{x}  - \frac{2}{2})^2 = 15+(\frac{2}{2})^2 \)

\((5^{x}  - 1)^2 = 16    | \sqrt{~~}\)

1.)

\(5^{x}  - 1= 4    \)

\(5^{x}= 5    \)

\(x_1=1    \)

2.)

\(5^{x}  - 1= -4    \)

\(5^{x} = -3    \)  Es gibt keine Lösung ∈ ℝ