Was sind Sinusfunktionen und Cosinusfunktionen?

Question

Ich beschäftige mich gerade mit Sinusfunktionen und Cosinusfunktionen. Ich verstehe die „rechnerische“ Seite dieser Funktionen einigermaßen. Jedoch verstehe ich nicht was diese Funktionen bedeuten und wofür sie genutzt werden können. In den meisten Videos und Webseiten wird dies übersprungen. Ich freue mich auf jede Antworten.

LG

Answer 1

Aloha :)

In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es die Hypotenuse $c$ (längste Seite), die Ankathete $b$ (liegt an dem Winkel) und die Gegenkathete $a$ (liegt dem Winkel gegenüber).

Mit der Cosinus-Funktion wird die Hypotenuse $c$ auf die Ankathete $b$ projeziert:$$b=c\cdot\cos(\alpha)$$Mit der Sinus-Funktion wird die Hypthenuse $c$ auf die Gegenkathete $a$ projeziert:$$a=c\cdot\sin(\alpha)$$

Zum Merken kannst du dir das $c$ vom $\cos$ als Winkel vorstellen$$\pink{\operatorname{c}}\!\operatorname{os}\cos(\alpha)\;\to\;\pink{\angle}\!\operatorname{os}(\alpha)$$

$\pink{\angle}$ = Die lange Seite wird mit dem Cosinus des Winkels auf die kurze Seite projeziert.

Das funktioniert natürlich auch, wenn das rechtwinklige Dreieck "verdreht" ist:

$$b=c\cdot\cos(\alpha)\quad;\quad a=c\cdot\cos(\beta)$$$$b=c\cdot\sin(\beta)\quad;\quad a=c\cdot\sin(\alpha)$$

Offensichtlich ist $\pink{\cos(\alpha)=\sin(\beta)}$ und $\pink{\cos(\beta)=\sin(\alpha)}$.

Dieser Eigenschaft verdanken die co-Funktionen ihren Namen. Mit der jeweiligen co-Funktion geht man zum complementären Winkel über, das ist in einem rechtwinkligen Dreieck der andere Nicht-90-Grad-Winkel. Allgemein heißt das:$$\sin(\alpha)=\cos(\beta)=\cos(90^\circ-\alpha)$$$$\cos(\alpha)=\sin(\beta)=\sin(90^\circ-\alpha)$$$$\tan(\alpha)=\cot(\beta)=\cot(90^\circ-\alpha)$$$$\cot(\alpha)=\tan(\beta)=\tan(90^\circ-\alpha)$$

Jetzt sollte dir die geometrsiche Bedeutung der Sinus- und Cosinus-Funktionen ein bisschen klarer geworden sein.

Comments

Mit "projeziert" meinst du entspricht?

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Die Idee bei der Projektion ist, dass man von oben mit einer Taschenlampe auf die Hyptptenuse lechtet und ihr Schattenwurf dann die Ankathete ergibt. Daher passt auch "entspricht" ;)

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Ah ok, gute Erklärung! Vielen Dank :)

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Mit der Sinus-Funktion wird die Hypthenuse $c$ auf die Gegenkathete $a$  'projiziert'. Das bedeutet: Licht fällt so auf c, dass der Schatten von c genau a ist.

Answer 2

Hier wird erklärt:

https://studyflix.de/mathematik/trigonometrische-funktionen-2034

https://de.serlo.org/mathe/1909/sinusfunktion-und-kosinusfunktion

Answer 3

Jedoch verstehe ich nicht [...] wofür sie genutzt werden können.

Sehr viele Prozesse in unserer Umgebung laufen periodisch ab. Ein Beispiel: Die Tageslänge ist an jedem Tag eines Jahres eine andere aber im darauffolgenden Jahr zum gleichen Datum wieder die gleiche. Wenn man den funktionalen Zusammenhang von Zeit (in Tagen) und Tageslänge zu diesem Zeitpunkt beschreiben will, braucht man eine Sinus- oder eine Kosinusfunktion f(x)= a·sin($\frac{2π}{p}$·(a-b))+c. Hier ist a die Amplitude, p die Periodenlänge, b die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

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Noch besser evtl. die Gezeiten der Nordsee

https://de.tideschart.com/Germany/Lower-Saxony/Cuxhaven/

Wobei ich natürlich nicht weiß, ob das der ganzen Bevölkerung Deutschlands bekannt ist, was Gezeiten und was Nordsee ist.

Also ich meine nicht dieses Fastfoodkette.