Begründen, warum Folge konvergiert + Grenzwert bestimmen

Question

Aufgabe:

Begründen, warum die Folge (x_n)_n konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} x_n\)

Problem/Ansatz:

Die rekursive Darstellung der Folge lautet:

$$ x_{n+1} = 2*x_n - a*x_n^{2} $$

Mein Ansatz ist, dass ich von der rekursiven Darstellung irgendwie auf eine explizite umrechne, um dann von dieser den Limes zu berechnen. Ich habe das jetzt so gemacht, dass ich zuerst das x₁ ausgerechnet habe (x_n durch x₀ ersetzt), dann dieses Ergebnis erneut für x₁ bei der Berechnung von x₂ eingesetzt habe usw... Aber das wird nur ewig lang und so komme ich auf nichts. Ideen?

Edit: Für den Anfangswert der Folge x₀ gilt: 0 < x₀ < 1/a, wobei a Element den Reellen Zahlen und >0 ist.

Comments

Das Umstellen geht oft nicht. Dann muss man zeigen, dass die Folge nach oben begrenzt ist und monoton steigt, oder nach unten begrenzt und monoton fällt. in den fällen konvergiert sie . Oft hilft dabei erst den GW  g zu bestimmen, indem man xn+1=xn=g setzt und g bestimmt.

Gruß lul

Answer 1

Wenn es einen Grenzwert g gibt, gilt für den auch

\( g= 2 \cdot g - a \cdot g^{2} \)

<=>  \( a \cdot g^{2}  - g =  0 \)

<=>  \( (a \cdot g - 1 ) \cdot g =  0 \)

<=>  \( g=0   \lor g =  \frac{1}{a} \)

Also wird wohl a der Grenzwert sein und du kannst den

Tipp von lul umsetzen.