Eigenschaften konvexer Funktionen

Question

Aufgabe:

Liegt jede Verbingsungsgerade zwischen zwei Punkten $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$ mit $a<b$ oberhalb vom Funktionsgraphen von $f$, so nennt man die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ konvex.

Zeige: Ist  $f$ differenzierbar auf einer offenen Teilmenge $D \subset \mathbb{R}$ und $f^{\prime}$ wachsend auf $D$ ist, so ist $f$ konvex auf $D$.

Mir fehlt bei dieser Aufgabe leider der Ansatz. Ich freue mich über Tipps!

Comments

Hallo

mach es dir an einer einfachen Parabel y=x² klar f''>=0 heisst f' wachsend

was bedeutet es für f'<0 was für f'>0 dann sie es bei a und b an, was sagt der MWS für die Sehne?

Gruß lul

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f soll aber nur einmal differenzierbar sein.

Answer 1

Es sei $a<b$ im Definitionsbereich und

$$z=(1-s)a+sb \text{ mit }s \in (0,1)$$

ein Zwischenpunkt. Der Mittelwertsatz sagt:

$$f(z)=f(a)+f'(p)(z-a) \text{ und }f(b)=f(z)+f'(q)(b-z)$$

Mit Punkten $p \in (a,z)$ und $q \in (z,b)$. Es folgt

$$f(z)=(1-s)f(z)+sf(z)=(1-s)f(a)+sf(b)+(f'(p)-f'(q))(1-s)s(b-a)\\\quad \leq (1-s)f(a)+sf(b)$$

Die letzte Ungleichung gilt, weil wegen der vorausgesetzten Monotonie von f' die Differenz f'(p)-f'(q) nichtpositiv ist.