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wäre einer so gnädig mir zu zeigen wie folgende Funktion partiell abgeleitet wird? Bin schon am verzweifeln.

F(x1,x2,x3)=LN (2x1+x2) + x3^2 * x2^2

Vielen Dank.

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1 Antwort

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Ich hab das Ganze noch einmal etwas ausführlicher dargestellt (du fragtest ja nach dem "WIE"):

 

Bezüglich der partiellen Ableitung nach x1 sind x2 und x3 als Konstanten zu betrachten.
Setze also für die partielle Ableitung nach x1:

x = x1
B = x2
C = x3

Dann

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 1 } }=\frac { d }{ dx } (ln(2x+B)+{ C }^{ 2 }{ B }^{ 2 })=\frac { d }{ dx } ln(2x+B)+\frac { d }{ dx } { C }^{ 2 }{ B }^{ 2 }$$Erster Summand: Kettenregel ("Innere Ableitung mal äußere Ableitung"), zweiter Summand ist konstant, also:$$=2*\frac { 1 }{ 2x+B } +0$$Rückersetzung von x durch x1 sowie der Konstanten B durch x2 :$$=\frac { 2 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }$$

 

Bezüglich der partiellen Ableitung nach x2 sind x1 und x3 als Konstanten zu betrachten.
Setze also für die partielle Ableitung nach x2:

A = x1
x = x2
C = x3

Dann:

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 2 } } =\frac { d }{ dx } (ln(2A+x)+{ C }^{ 2 }{ x }^{ 2 })=\frac { d }{ dx } (ln(2A+x)+\frac { d }{ dx } { C }^{ 2 }{ x }^{ 2 }$$Erster Summand: Kettenregel ("Innere Ableitung mal äußere Ableitung"), zweiter Summand: Potenzregel, also:$$=1*\frac { 1 }{ 2A+x } +2{ C }^{ 2 }x$$Rückersetzung von x durch x2 sowie der Konstanten A bzw. C durch x1 bzw. x3:$$=\frac { 1 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } } +2{ x }_{ 3 }^{ 2 }{ x }_{ 2 }$$

 

Bezüglich der partiellen Ableitung nach x3 sind x1 und x2 als Konstanten zu betrachten.
Setze also für die partielle Ableitung nach x3:

A = x1
B = x2
x = x3

Dann:

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 3 } } =\frac { d }{ dx } ln(2A+B)+{ x }^{ 2 }{ B }^{ 2 })=\frac { d }{ dx } (ln(2A+B)+\frac { d }{ dx } { x }^{ 2 }{ B }^{ 2 }$$Erster Summand: Kettenregel ("Innere Ableitung mal äußere Ableitung"), zweiter Summand: Potenzregel, also:$$=0*\frac { 1 }{ 2A+B } +2{ B }^{ 2 }x=2{ B }^{ 2 }x$$Rückersetzung von x durch x3 sowie der Konstanten B durch x2:$$=2{ x }_{ 2 }^{ 2 }{ x }_{ 3 }$$

 

Also kurz:

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 1 } } =\frac { 2 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }$$$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } } +2{ x }_{ 3 }^{ 2 }{ x }_{ 2 }$$$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 3 } } =2{ x }_{ 2 }^{ 2 }{ x }_{ 3 }$$

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