totale Differential mehrere variablen

Question

Berechnen Sie den Funktionswertzuwachs Δz sowie das totale Differential dz für die Funktion z = f(x,y) = x y mit x0 = 2, y0 = 3, Δx = 0,2, Δy = -0,1


Kennt sich jemand damit aus und kann mir sagen was hier zu machen ist?

Answer 1

Nun, der Funktionswertzuwachs Δ z lässt sich einfach dadurch bestimmen, dass man den Funktionswert an der Stelle ( x + Δ x , y + Δ y ) berechnet und davon den Funktionswert an der Stelle ( x , y ) subtrahiert, also:

Δ z = f ( x + Δ x ; y + Δ y ) - f ( x ; y  )

= f ( 2,2 ; 2,9 ) - f ( 2 ; 3 )

= 2,2 * 2,9 - 2 * 3

= 0,38

Das totale Differential von z = f ( x , y ) ist der Ausdruck:

$$dz=\frac { \partial f }{ \partial x }dx+\frac { \partial f }{ \partial y }dy$$

Mit f ( x , y ) = xy ergibt sich:

$$dz=\frac { \partial (xy) }{ \partial x } dx+\frac { \partial (xy) }{ \partial y } dy=ydx+xdy$$

Setzt man hier die gegebenen Werte ein, so erhält man:

$$dz\approx 3*0,2+2*(-0,1)=0,4$$

Da das totale Differential nur die Veränderungen von z für infinitesimal kleine Schritte dx und dy beschreibt, die gegebenen Schritte Δ x = 0,2  bzw. Δ y = -0,1 jedoch nicht infinitesimal klein sind, weicht der Wert des totalen Differentials von dem tatsächlichen Funktionszuwachs 0,38 (siehe oben) etwas ab, beschreibt diesen also nur näherungsweise.