Zeigen Sie folgende Relationen

Question

Aufgabe:

Auf \( M=\mathbb{N} \times \mathbb{N} \) definieren wir die Relation \( \sim \) durch
\( (a, b) \sim(c, d) \Leftrightarrow a+d=b+c \)

Zeigen Sie:

(a) Bei der Relation \( \sim \) handelt es sich um eine Äquivalenzrelation auf der Menge \( M \).

(b) Geben Sie eine explizite Beschreibung der Klassen \( [(1,3)] \) sowie \( [(3,1)] \) an.

(c) Beweisen Sie die Implikation
\( (a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \text { und }(c, d) \sim\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right) \Rightarrow(a+c, b+d) \sim\left(a^{\prime}+c^{\prime}, b^{\prime}+d^{\prime}\right) \text {. } \)

Answer 1

a+d=b+c kannst du umschreiben in

a-b = c-d

Die Paare (a,b) und (c,d) stehen also zueinander in Relation, wenn

vordere Zahl minus hintere Zahl

in beiden Paaren das gleiche Ergebnis ergibt.