Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Uns ist eine Übergangs-Matrix \(\mathbf M\) gegeben, die angibt, wie sich die Mitarbeiter-Verteilung zwischen 3 Standorten A, B und C in einem Jahr ändert. Weiter wissen wir, dass zu Beginn alle 1200 Mitarbeiter am Standort A beschäftigt sind:$$\mathbf M=\left(\begin{array}{c|rrr} & A & B & C\\\hline A & 0,7 & 0,1 & 0,1\\B & 0,2 & 0,85 & 0\\C & 0,1 & 0,05 & 0,9\end{array}\right)\quad\text{mit}\quad\vec m_0=\begin{pmatrix}1200\\0\\0\end{pmatrix}$$
Ich habe die Standorte mal mit in die Matrix geschrieben, damit klar wird, was das bedeutet. Dazu hier zwei Lesebeispiele:
(1) Vom Standort B wechseln pro Jahr 5% der Mitarbeiter zu Standort C.
(2) Von Standort A wechseln pro Jahr 20% der Mitarbeiter zu Standort B.
Für die Rechnungen lassen wir die Standorte in der Matrix natürlich wieder weg.
zu a) Die Mitarbeiterverteilung sieht nach dem ersten Jahr so aus:$$\pink{\vec m_1}=\mathbf M\cdot\vec m_0=\left(\begin{array}{rrr}0,7 & 0,1 & 0,1\\0,2 & 0,85 & 0\\0,1 & 0,05 & 0,9\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}1200\\0\\0\end{pmatrix}=1200\begin{pmatrix}0,7\\0,2\\0,1\end{pmatrix}=\pink{\begin{pmatrix}840\\240\\120\end{pmatrix}}$$
zu b) Wir suchen eine Gleichgewichtsverteilung \(\vec g\), bei der sich die Verteilung der Mitarbeiter im Folgejahr nicht ändert. Wir fordern daher, dass \(\vec g=\mathbf M\cdot\vec g\) sein muss. Damit wir diese Gleichung einfach umstellen können, multiplizieren wir den linken Vektor \(\vec g\) mit der Einheitsmatrix \(\mathbf 1\). Diese ändert nicht den Wert, denn \(\mathbf 1\cdot\vec g=\vec g\), ermöglicht uns aber, mit Matrizen zu rechnen:$$\vec g=\mathbf M\cdot\vec g\implies\mathbf 1\cdot\vec g=\mathbf M\cdot\vec g\implies\mathbf M\cdot\vec g-\mathbf 1\cdot\vec g=\vec 0\implies(\mathbf M-\mathbf1)\cdot\vec g=\vec 0$$
Das führt uns auf folgendes Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}-0,3 & 0,1 & 0,1\\0,2 & -0,15 & 0\\0,1 & 0,05 & -0,1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}g_A\\g_B\\g_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Dieses lösen wir mit dem Gauß-Algorithmus:$$\begin{array}{rrr|c|l}g_A & g_B & g_C & = & \text{Operation}\\\hline-0,3 & 0,1 & 0,1 & 0 &+3\cdot\text{Zeile 3}\\0,2 & -0,15 & 0 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 3}\\0,1 & 0,05 & -0,1 & 0 &\cdot10\\\hline0 & 0,25 & -0,2 & 0 &\cdot4\\0 & -0,25 & 0,2 & 0 &+\text{Zeile 1}\\1 & 0,5 & -1 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & -0,8 & 0 & \Rightarrow g_B-0,8g_C=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow 0=0\;\checkmark\\1 & 0 & -0,6 & 0 & \Rightarrow g_A-0,6g_C=0\end{array}$$
Die mittlere Gleichung ist immer erfüllt, denn \(0=0\). Bleiben die beiden Bedingungen:$$g_B=0,8g_C\quad\text{und}\quad g_A=0,6g_C$$Das liefert uns unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems:$$\vec g=\begin{pmatrix}g_A\\g_B\\g_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,6g_C\\0,8g_C\\g_C\end{pmatrix}=g_C\cdot\begin{pmatrix}0,6\\0,8\\1\end{pmatrix}$$Wir brauchen diejenige Lösung, bei der die Mitarbeiterzahl \(1200\) beträgt:$$1200=g_A+g_B+g_C=0,6g_C+0,8g_C+g_C=2,4g_C\implies g_C=\frac{1200}{2,4}=500$$
Damit haben wir den Gleichgewichtszustand gefunden:$$\pink{\vec g_0}=500\cdot\begin{pmatrix}0,6\\0,8\\1\end{pmatrix}=\pink{\begin{pmatrix}300\\400\\500\end{pmatrix}}$$
zu c) Die Bestimmung der Matrix-Potenzen ist eine Taschenrechner-Aufgabe:$$M^{10}=(M^5)^2=(M^2\cdot M^2\cdot M)^2=((M^2)^2\cdot M)^2$$$$M^{20}=(M^{10})^2$$$$M^{30}=M^{20}\cdot M^{10}$$Den Spaß an der Tipparbeit möchte ich dir nicht nehmen ;)
Du wirst mekren, dass sich die Matrizen von \(M^{10}\) über \(M^{20}\) nach \(M^{30}\) immer weniger ändern. Das heißt, der in (b) berechnete Gleichgewichtszustand stellt sich mit den Jahren automatisch ein.
