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Aufgabe:

Ich soll in der folgenden Aufgabe bestimmen, ob die reelle Zahlenfolge konvergent oder
divergent ist.

(dn)nN \left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} mit dn=e5n+2nn!+2n2 d_{n}=\frac{e^{5 n}+2^{n}}{n !+2 n^{2}}

Problem/Ansatz:

Ich habe gesagt, dass man 2n 2^{n} im Zähler und 2n2 2n^{2} im Nenner vernachlässigen kann, da die anderen jeweiligen Glieder dominieren.

Dann habe ich durch Ausprobieren gemerkt, dass e5n e^{5n} schneller Richtung +unendlich wächst als n!
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das begründen kann. Gibt es einen Wert für a, ab dem ean e^{an} schneller wächst als n!? Ich habe dazu nichts gefunden und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.

War mein Vorgehen bis jetzt ok so und würdet ihr etwas anders machen?

Grüße teipiii

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2 Antworten

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Dann habe ich durch Ausprobieren gemerkt, dass e5n e^{5n} schneller Richtung +unendlich wächst als n!

Ausprobieren ist ein ganz schlechter Ratgeber.

Frag mal Wolframalpha.

limne5nn!=0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{5 n}}{n !}=0

Und jetzt versuche mal zu begründen, warum n! schneller wächst.

Avatar von 493 k 🚀

Ja klar, dass Ausprobieren nicht die Lösung ist, ist ja klar, ich wusste nur nicht wo ich weitermachen soll.
Vielleicht ist eine Begründung, dass wenn n gegen unendlich geht, sich n! mit sehr großen Werten multipliziert, wohin gegen bei e5n e^{5n} , zwar mehr Zahlen miteinander multipliziert werden, diese aber nur etwa 2,71 betragen.

e^(5n) = (e5)n < 149n

Bei n! sind zwar 148 Faktoren kleiner als 149 aber unendlich viele Faktoren größer als 149.

Wenn n also gegen unendlich geht dann ist n! viel größer als jede Exponentialfunktion.

War meine Begründung dann mehr oder weniger richtig?
Wie bist du auf die spezifischen Werte gekommen? Ich komm mit WolframAlpha und Grenzwerten irgendwie nicht zurecht, blicke da nicht durch?
Wäre also für jede Wert bei a in ean e^{an} n! größer?

War meine Begründung dann mehr oder weniger richtig?

Eher weniger als mehr. Du solltest die Ausdrücke auf die gleiche Anzahl von Faktoren bringen daher habe ich die e-Funktion einfach als 149n geschrieben, wo wir n Faktoren vom Wert 149 haben.

Und ja n! ist größer als e^(an), wenn n gegen unendlich geht.

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Eine Majorante ist 2e5nn!\frac{2e^{5 n}}{n !} . Weise mit dem Quotientenkriterium nach, dass sie konvergiert.

Avatar von 56 k 🚀

Ist das nicht für Reihen? Sind Reihen und Folgen dasselbe? Keine Ahnung, wir haben dieses Kriterium auf jeden Fall (noch) nicht gelernt

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