welche der folgenden Aussagen über Mengen sind, war, welche falsch?

Question

Aufgabe:

… welche der folgenden Aussagen über Mengen sind, wahr, welche falsch? Geben Sie für den falschen Aussage ein Gegenbeispiel und für die richtigen Aussagen eine Umformung an.

Problem/Ansatz:

i) P(A) U P(B) = P(AUB)

ii) A ⊂ (BUC) <-> A ⊂ B ∧ A ⊂ C

iii) A ∩ (B\C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)

Answer 1

i)  P bezeichnet wohl die Potenzmenge.

Dann ist für A={1} und B={2} die Menge {1,2} zwar

in   P(AUB) = {∅, {1},{2}, {1,2}} aber

nicht in P(A) U P(B)  =  {∅, {1},{2}}.

Also Aussage falsch.

ii) A ⊂ (BUC) <-> A ⊂ B ∧ A ⊂ C falsch;

denn für A={1} und B={2} und C= {1,3}

gilt A ⊂ (BUC) aber nicht A ⊂ B

iii)  A ∩ (B\C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) wahr

Sei x∈A ∩ (B\C)

<=>  x∈A ∧ x∈B  ∧ x∉C

<=>  x∈A∩B ∧ x∉C #

Wegen x∈A gilt :  x∉C <=> x∉A∩C

Also # <=>  x  ∈ (A ∩ B) \ (A ∩ C)