offene Nullmenge ist die leere Menge?

Question

Ich arbeite mich aktuell durch einen Beweis und habe an einer Stelle Schwierigkeiten diesen nachzuvollziehen.

Seien f und g stetig auf [a,b] und N={x ∈ [a,b] : f(x)≠g(x)} und μ(N)=0, also f und g sind fast überall gleich auf [a,b].

1). Ist dann N offen, da f und g stetig sind?

2). Angeblich folgt daraus dass N die leere Menge sein muss, da man N als Vereinigung von offenen Intervallen I_j schreiben kann und dann gilt: 0 =  μ(N) ≥  μ(∪I_j). Warum soll daraus N= folgen? Es könnte doch auch sein dass das Maß jedes offenen Teilintervalls gleich 0 ist, (beispielsweise wenn μ das Nullmaß ist).

Es würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte zu verstehen warum N in diesem Fall gleich der leeren Menge sein soll. Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Ich gehe hier von einem regulären oder einem Borel-Maß aus. Sonst erscheint mir das Vorgehen in 2) keinen Sinn zu machen.

Zu 1)
Da $f,g$ stetig sind, ist auch $h=f-g$ stetig. Damit ist

$N = h^{-1}((-\infty,0)) \cup h^{-1}((0,\infty))$

Stetige Urbilder offener Mengen sind offen. Damit ist N offen.

Zu 2)

Per Voraussetzung ist $\mu(N)=0$

Wenn N nichtleer wäre, dann gäbe es wegen der Offenheit von N ein nichtleeres Intervall $I\subseteq N$. Das hieße aber

$0<\mu(I) \leq \mu(N) = 0$ Widerspruch!

Comments

Danke, aber warum genau ist 0 < μ(I)? Beim Nullmaß beispielsweise ist

0 = μ(I) auch wenn I ein nichtleeres Intervall ist

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Du hast in deiner Frage nichts über $\mu$ gesagt.

Die zu beweisende Aussage sieht aber sehr danach aus, dass $\mu$ zum Beispiel mindestens (von außen) regulär oder ein Borel-Maß ist.

Also schau nochmal in deinem Text nach, welche Voraussetzungen $\mu$ erfüllen soll.

Für das Nullmaß macht die Anknüpfung an topologische Konzepte wie Offenheit gar keinen Sinn.

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In dem Buch stand nicht explizit dabei um welches Maß es sich handelt, aber ich habe gelernt, dass man vom Lebesguemaß ausgehen soll.

Kann man dann wiefolgt argumentieren:

N ist eine offene Nullmenge auf [-pi, pi] (das gilt nach Voraussetzung) also kann man N als Vereinigung von Intervallen I_j schreiben. I_j ist entweder offen oder von der Form [-pi, b); [-pi, pi]; oder (b,pi].

0 = μ(N) ≥ μ(I_j) ≥ 0 also muss μ(I_j)=0 für alle j gelten

da alle I_j Nullmengen sind, können sie nicht von der Form [-pi, b); [-pi, pi]; oder (b,pi] (da diese bzgl dem Lebesguemaß keine Nullmenge sind)

Also ist N eine Vereinigung von offenen Intervallen mit Maß Null, und da alle offenen Intervalle mit Maß 0 der leeren Menge entsprechen ist N die leere Menge

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Woher [-pi,pi] kommt, ist mir unklar.

Weiterhin ist es nicht notwendig, die offene Menge N zunächst als Vereinigung von in [-pi,pi] offener Intervalle zu bilden.

Es reicht völlig aus (siehe oben meine Antwort), dass eine nichtleere offene Menge ein offenes Intervall $I$ enthalten muss. Da das Lebesgue-Maß eines nichtleeren offenen Intervalls positiv ist, wäre dann $0 = \mu(N) \geq \mu(I)> 0$. Widerspruch.