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zuvor habe ich die erste Ableitung der Funktion bestimmt:

f(x) = (x2 - 2x - 3) / (x-2)
 

Diese lautet -> f ' (x) = (x^2-4x+7)/(x-2)^2
Ich habe versucht die zweite Ableitung mittels der Qutientenregel zu berechnen:

$$f'(x)\quad =\quad \frac { x²\quad -\quad 4x\quad +\quad 7 }{ { (x-2) }^{ 2 } } \\ v\quad =\quad x²\quad -\quad 4x\quad +\quad 7,\quad v'\quad =\quad 2x\quad -\quad 4\\ u\quad =\quad (x-2)²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u'\quad =\quad 2*(x-2)\\ \\ f''(x)\quad =\quad \frac { v'*u\quad -\quad v*u' }{ u² } \quad =>\quad \frac { (2x-4)*(x-2)²\quad -\quad (x²-4x+7)*2*(x-2) }{ { (x-2) }^{ 4 } } =>\\ \frac { (2x-4)*(x-2)²\quad -\quad (x²-4x+7)*2 }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\quad \frac { (2x-4)*(x²-4x+4)\quad -\quad (x²-4x+7)*2 }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\\ \frac { 2x³-8x²+8x-4x²+16x-16\quad -\quad (2x²-8x+14) }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\quad \frac { 2x³-8x²+8x-4x²+16x-16\quad -\quad 2x²+8x-14 }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\\ \frac { 2x³-14x²+32x-30 }{ { (x-2) }^{ 3 } }$$

Das Problem: Ich weiss das die richtige Ableitung so lauten müsste:
$$f''(x) = -\frac{6}{(x-2)^3}$$

Was habe ich wohl falsch gemacht?



 

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f(x) = (x^2 - 2·x - 3)/(x - 2)

f'(x) = (x^2 - 4·x + 7)/(x - 2)^2

Ableitung nach Quotientenregel

f''(x) = ((2·x - 4) · (x - 2)^2 - (x^2 - 4·x + 7) · 2·(x - 2)) / (x - 2)^4

f''(x) = ((2·x - 4) · (x - 2) - (x^2 - 4·x + 7) · 2) / (x - 2)^3

f''(x) = ((2·x^2 - 8·x + 8) - (2·x^2 - 8·x + 14)) / (x - 2)^3

f''(x) = - 6 / (x - 2)^3

Du warst also unachtsam beim Kürzen. Du musst aus jedem Summanden im Zähler kürzen und nicht nur aus einem.
von 268 k
Vielen dank.

Ich weiss nicht ob ich ohne deine Hilfe auf diesen Fehler aufmerksam geworden wäre.
Ich werde es mir notieren und hoffentlich diese Fehler nicht erneut machen :)
Solange du dir merkst, dass

(ab - ac) / (ad) = ab / (ad) - ac / (ad) = b / d - c / d = (b - c) / d

Dann kann eigentlich nichts mehr schiefgehen.
Es gibt da ja auch noch einen kleinen Merkspruch:

Aus Summen kürzen nur die Dummen :)


Aber die Schlauen kürzen auch aus Summen, und zwar dann aus jedem Summanden.

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