Scheinbar haben die anderen die Aufgabe nicht gelesen.
Es gibt genau eine Permutation σ0, bei der alle Faktoren im Produkt ∏i=15ai,σ0(i) verschieden von 0 sind:
σ0=(1524334251)
Damit gilt schonmal
detA=σ∈S5∑sgn(σ)i=1∏5ai,σ(i)
=sgn(σ0)a1,5⋅a2,4⋅a3,3⋅a4,2⋅a5,1=−144sgn(σ0)
jetzt müssen wir nur noch schauen, welches Vorzeichen die Permutation σ0 hat. Dazu zerlegt man σ0 in Transpositionen:
(1524334251)=(15)(24)
Das sind zwei Transpositionen, damit ist sgn(σ0)=(−1)2=1. Insgesamt also:
detA=−144sgn(σ0)=−144⋅1=−144