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Aufgabe:

Berechne die Determinante mit der allgemeinen Definition :  det A=σSn(sgn(σ)i=1nai,σ(i))(0000400060002000100030000)\text{Berechne die Determinante mit der allgemeinen Definition:} \ det \ A=\sum_{\sigma\in S_n}(sgn(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}) \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 &0 &6 & 0 \\0&0&-2&0&0 \\0&-1&0&0&0 \\-3&0&0&0&0 \end{pmatrix}

Wie berechne ich diese Determinante? Durch die vielen Nullen werden ja sicher keine 120 Permutationen benötigt, wie es für n=5 normalerweise der Fall wäre.

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Scheinbar haben die anderen die Aufgabe nicht gelesen.

Es gibt genau eine Permutation σ0\sigma_0, bei der alle Faktoren im Produkt i=15ai,σ0(i)\prod_{i=1}^5a_{i,\sigma_0(i)} verschieden von 0 sind:

σ0=(1234554321)\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Damit gilt schonmal

detA=σS5sgn(σ)i=15ai,σ(i)\displaystyle \det A = \sum_{\sigma \in S_5}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^5a_{i,\sigma(i)}

=sgn(σ0)a1,5a2,4a3,3a4,2a5,1=144sgn(σ0)= \operatorname{sgn}(\sigma_0)a_{1,5}\cdot a_{2,4} \cdot a_{3,3}\cdot a_{4,2}\cdot a_{5,1} = -144 \operatorname{sgn}(\sigma_0)

jetzt müssen wir nur noch schauen, welches Vorzeichen die Permutation σ0\sigma_0 hat. Dazu zerlegt man σ0\sigma_0 in Transpositionen:

(1234554321)=(15)(24)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = (15)(24)

Das sind zwei Transpositionen, damit ist sgn(σ0)=(1)2=1\operatorname{sgn}(\sigma_0)= (-1)^2=1. Insgesamt also:
detA=144sgn(σ0)=1441=144\displaystyle \det A = -144 \operatorname{sgn}(\sigma_0) = -144\cdot 1 = -144

Avatar von 12 k
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Aloha :)

Du vertauschst Zeile 1 und Zeile 5 und multiplizierst dafür die Determinante mit (1)(-1).

Du vertauschst Zeile 2 und Zeile 4 und multiplizierst dafür die Determinante mit (1)(-1).

Wegen (1)2=1(-1)^2=1 hast du den Wert der Determinante nicht geändert, aber nun hast du die Determinante einer Diagonalmatrix zu bestimmen.

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Elmente.

Die Lösung ist daher (144)(-144).

Avatar von 153 k 🚀

Es soll ausdrücklich mit der gegebenen Definition gerechnet werden.

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Hallo

entwickle nach der ersten spalte, die Unterdet, ebenso dann hast du das schnell .

Das ergibt das Produkt der Diagonalen, wie bei jeder diagonalenmatrix, nur auf das Vorzeichen aufpassen.

lul

Avatar von 108 k 🚀

Laut Aufgabe soll es so aber nicht gemacht werden.

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