Ich glaube, ich habe es nun verstanden. Stimmt das so?
Nach Restgliedabschätzung für n=1 gilt:
|exp(x) - (1+x)| <= |x|^2 ⇔|xexp(x)−(1+x)| <= |x| ⇔|n=1∑∞(x+1)!xn | <= |x|
Sei nun xn eine Folge in C mit n→∞lim = 0 und xn ≠ 0 für alle n. Dann gibt es ein N, so dass für alle no > N gilt |xno| <= 1.
Somit folgt für alle no > N, dass
⇔|n=1∑∞(xno+1)!xnon | <= |xno|
Nach dem Quetschlemme gilt dann n=1∑∞(xno+1)!xnon = 0.
Da unsere Folge beliebig gewählt wurde gilt damit
x→0lim xexp(x)−1 = n=1∑∞(x+1)!xn + 1 = 0 + 1 = 1