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Aufgabe:

Beweisen Sie mittels der Restgliedabschätzung, dass limx0 \lim\limits_{x\to0}   exp(x)1x \frac{exp(x)-1}{x} = 1 gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Term umgeformt und ich erkenne auch, dass wenn x gegen 0 geht, nur das erste Summenglied, also die 1 übrig bleibt.

Die Restgliedabschätzung für n=1 lautet:

|exp(x) - 1| <= |x|2

<=> |exp(x)1xx \frac{exp(x)-1-x}{x} | = | n=0xn(n+1)! \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{(n+1)!}} - 1|  <= |x|



Meine Frage ist nur, inwiefern mir die Restgliedabschätzung weiterhilft und wie ich meine bisherige Vermutung mathematisch ausdrücken kann.

exp(x)1x \frac{exp(x)-1}{x} n=0xn(n+1)! \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{(n+1)!}} = ( 1 + x2 \frac{x}{2} x23! \frac{x^2}{3!} x34! \frac{x^3}{4!} + ...)

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Mit deiner Restgliedabschätzung kann etwas nicht stimmen.

Am Anfang ja, da müsste |exp(x) - 1 -x| <= |x|2 stehen.

Der Rest müsste aber stimmen.

Vermutlich ist es etwa wie folgt gemeint:
exp(x)=1+x+R2(x)\exp(x)=1+x+R_2(x), wobei R2(x)x2\lvert R_2(x)\rvert\le\vert x\rvert^2 für alle xRx\in\R mit x32\lvert x\rvert \le\frac32 gilt.
Daraus folgt
exp(x)1=x+R2(x)x+R2(x)x+x2=x(1+x)\lvert\exp(x)-1\rvert=\lvert x+R_2(x)\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert R_2(x)\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert x\rvert^2=\lvert x\rvert{\cdot}(1+\lvert x\rvert).
Für x0x\ne0 gilt daher exp(x)1x1+x\left\lvert\dfrac{\exp(x)-1}x\right\rvert\le1+\vert x\rvert.
Die Behauptung folgt dann mit dem Quetschlemma.

Ich bin mir jetzt relativ sicher, dass du auf folgende Abschätzung hinaus willst:
exp(x)=1+x+R2(x)    exp(x)1x1=R2(x)xx2x=x\exp(x)=1+x+R_2(x)\implies\left\lvert\dfrac{\exp(x)-1}x-1\right\rvert=\left\lvert\dfrac{R_2(x)}x\right\rvert\le\left\lvert\dfrac{x^2}x\right\rvert=\lvert x\rvert.

Ich glaube, ich habe es nun verstanden. Stimmt das so?

Nach Restgliedabschätzung für n=1 gilt:

|exp(x) - (1+x)| <= |x|^2 ⇔|exp(x)(1+x)x \frac{exp(x) - (1+x)}{x} | <= |x| ⇔|n=1xn(x+1)! \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{(x+1)!}} | <= |x|

Sei nun xn eine Folge in C mit limn \lim\limits_{n\to\infty} = 0 und xn ≠ 0 für alle n. Dann gibt es ein N, so dass für alle no > N gilt |xno| <= 1.

Somit folgt für alle no > N, dass

⇔|n=1xnon(xno+1)! \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{xno^n}{(xno+1)!}} | <= |xno|

Nach dem Quetschlemme gilt dann n=1xnon(xno+1)! \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{xno^n}{(xno+1)!}} = 0.

Da unsere Folge beliebig gewählt wurde gilt damit

limx0 \lim\limits_{x\to0}  exp(x)1x \frac{exp(x) - 1}{x} n=1xn(x+1)! \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{(x+1)!}} + 1 = 0 + 1 = 1

Dein Ansatz |exp(x) - (1+x)| <= |x|^2 ist meines Erachtens nicht zielführend.
Wenn du limx0exp(x)1x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\exp(x)-1}{x}=1 mit der Restgliedabschätzung zeigen willst,
solltest du eine geeignete Abschätzung für exp(x)1x1\left\lvert\dfrac{\exp(x)-1}x-1\right\rvert finden.

|exp(x) - (1+x)| <= |x|2

Wenn ich beides durch |x| teile habe ich doch |exp(x)1x \frac{exp(x)-1}{x} -1| <= |x|

Ja, das ist richtig. So kannst du das machen.

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