Aloha :)
Aus dem Unterricht ist bekannt, dass n→∞lim(1+n1)n=e gilt. Entscheidend ist hier, dass der Exponent n und der Nenner n beide gleich sind und gegen unendlich gehen. Du kannst beide auch durch jeden anderen Term ersetzen, der für n→∞ monoton gegen ∞ geht, z.B.n→∞lim(1+2023n1)2023n=e;n→∞lim(1+n71)n7=e;n→∞lim(1+n1)n=e
Damit kannst du die Aufgaben dann etwa wie folgt angehen:
(n+1n)n=(nn+11)n=(1+n11)n=(1+n1)n1→e1
(n−1n)n/2=(n−1(n−1)+1)n/2=(1+n−11)n/2=(1+n−11)n(n−1n)n/2=(1+n−11)n−1⋅(1+n−11)→e⋅(1+0)=e
(n2n2+2n+1)n=(n2(n+1)2)n=(nn+1)2n=((1+n1)n)2→e2
(n2−2n2+1)n2−2=(n2−2(n2−2)+3)n2−2=(1+n2−23)n2−2=(1+3n2−21)n2−2(n2−2n2+1)n2−2=⎝⎜⎜⎛(1+3n2−21)3n2−2⎠⎟⎟⎞3→e3
(1+n+23)3n−6=(1+3n+21)(3n+6)−12=(1+3n+21)12(1+3n+21)3n+6=(1+3n+21)12(1+3n+21)3n+2⋅9(1+n+23)3n−6=(1+3n+21)12((1+3n+21)3n+2)9→(1+0)12e9=e9