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Aufgabe:

b) Isabella gewinnt gegen ihre Freundin Fatima durchschnittlich 3 von 5 Partien „Mensch ärgere Dich nicht". In den bevorstehenden Sommerferien werden die beiden Mädchen n n Partien gegeneinander spielen ( n n gerade, n>2 n>2 ).

Die binomialverteilte Zufallsvariable Y Y gibt an, wie viele der n n Partien von Isabella gewonnen werden.

Gegeben sind vier Wahrscheinlichkeiten und sechs Ereignisse.

1) Ordnen Sie den vier Wahrscheinlichkeiten jeweils das mit dieser Wahrscheinlichkeit eintretende Ereignis aus A \mathrm{A} bis F \mathrm{F} zu.

(nn2)0,6020,402 \left(\begin{array}{l} n \\ \frac{n}{2} \end{array}\right) \cdot 0,6^{\frac{0}{2}} \cdot 0,4^{\frac{0}{2}}

10,4nn0,60,4n1 1-0,4^{n}-n \cdot 0,6 \cdot 0,4^{n-1}

10,6n 1-0,6^{n}

n0,6n10,4 n \cdot 0,6^{n-1} \cdot 0,4


AIsabella gewinnt genau die Hälfte der n Partien.
BIsabella gewinnt mindestens 2 der n Partien.
CIsabella verliert mehr als die Hälfte der n Partien.
DIsabella verliert genau 1 der n Partien.
EIsabella verliert mindestens 1 der n Partien.
FIsabella gewinnt höchstens 1 der n Partien.

Der Erwartungswert von Y Y wird mit μ \mu , die Standardabweichung von Y Y mit σ \sigma bezeichnet.


2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(μσ<Y<μ+σ) P(\mu-\sigma<Y<\mu+\sigma) für n=14 n=14 .
[0/1 P.]

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1)

(n über n/2)·0.6^(n/2)·0.4^(n/2) → A

1 - 0.4n - n·0.6·0.4^(n - 1) → B

1 - 0.6n → E

n·0.6^(n - 1)·0.4 → D

2)

μ = n·p = 8.4

σ = √(n·p·(1 - p)) = 1.833

P(7 ≤ Y ≤ 10) = 0.7256

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Wo ist denn das Problem? Betrachte mal die Struktur der Terme und vergleiche mit der Bernoulli-Formel für P(X=k)P(X=k). Beachte, dass sich die Formel für die Fälle k=0k=0, k=1k=1k=n1k=n-1 und k=nk=n vereinfachen lässt. Man kann damit leicht auf Terme der Form P(X1)=P(X=0)+P(X=1)P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) schließen. Auch die Betrachtung von Gegenereignissen wie P(X>1)=1P(X1)P(X>1)=1-P(X\leq 1) kann helfen.

Beim zweiten Teil berechne μ\mu und σ\sigma mit Hilfe der Formel. Das bekommst du hin.

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