Beweisen Sie, dass die Funktion f : (−1, 1) → R , x 7→ .

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Funktion
f : (−1, 1) → R , x → 0 , falls x = 0
x² *sin( 1/x), falls x ̸= 0
differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.

Answer 1

Aloha :)

Für $x\ne0$ können wir die Ableitung mit Produkt- und Kettenregel bilden:$$f'(x)=\left(\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\sin\left(\pink{\frac1x}\right)}_{=v}\right)'=\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin\left(\pink{\frac1x}\right)}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\cos\left(\pink{\frac1x}\right)}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\left(\pink{-\frac{1}{x^2}}\right)}^{=\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$f'(x)=2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)$$und erhalten eine Funktion, die für alle $x\ne0$, also für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f(x)$ definiert ist. Damit ist die Funktion $f(x)$ für alle $x\ne0$ differenzierbar (wir haben es ja gerade getan).

Die Ableitung $f'(x)$ ist aber nicht stetig, da sie für $x\ne0$ nicht definiert ist.

Comments

Diese Begründung ist falsch, es ist f'(0)=0. Allerdings hat f' im Nullpunkt keinen Funktionsgrenzwert.