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Es ist folgendes zu zeigen:

Seien a(n) und b(n) Folgen und gelte

Lim[a(n)] = ♾️ und Lim[b(n)] = b

=> Lim[a(n)*b(n)] = ♾️


Mein Beweis:

Lim[a(n)] = ♾️, d.h. nach Definition der Folgendivergenz: Für alle C > 0, gibt es ein Index N, wobei für alle n ≥ N: |a(n)| > C gilt.

(Da b(n) nach Voraussetzung konvergiert gegen b, gilt dafür nach Definition das b(n) in dem offenen Intervall ]b - ε, b + ε[ liegt für alle n ≥ N2, wobei N2 der Index ist, ab der das gilt).

Insgesamt gilt für den Index N für alle n ≥ N:

|a(n)b(n)| = |a(n)| |b(n)| > C |b(n)| > C.

Nach Definition gilt also Lim[a(n)b(n)] = ♾️.

————

Ist mein Beweis korrekt?

Avatar von 1,7 k

Dein Beweis ist nicht korrekt. Schon die Aussage ist falsch. Die Definition für a_n berücksichtigt nicht plus/Minus unendlich. Die Fälle b<0 und b=0 werden nicht berücksichtigt

2 Antworten

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Deine Definition:

Lim[a(n)] = ♾️, d.h. nach Definition der Folgendivergenz: Für alle C > 0, gibt es ein Index N, wobei für alle n ≥ N: |a(n)| > C gilt.

Kann nicht so ganz stimmen. Oder bedeuten die Klammern [  ] in Lim[a(n)] = ♾️, auch

den Betrag. Nach dieser Definiton hätte man ja auch Lim[(-1)n * n ] = ♾️, und das

wäre zumindest sehr ungewöhnlich.

Avatar von 289 k 🚀

Hier ist nochmal meine Lösung. Ich glaube handschriftlich ist es lesbarer :).

Ich hoffe mein Beweis ist jetzt verständlicher. Im Prinzip habe ich einfach die Definition der Folgendivergenz genutzt. Ist das so korrekt?

Übrigens der Beweis gilt für b_n > 0 für alle n! :)

IMG_6538.jpeg

Text erkannt:

Aufgabe: a) Grenzuvertsalz für Divergenz 1) Seien (an)k(bn) \left(a_{n}\right) k\left(b_{n}\right) reele Folgen, mit der Eigenschast:
limnan=limnbn=blimnanbn= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \wedge \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \Longrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\infty
(anbn) \left(a_{n} b_{n}\right) ist die
Beweis: produhtfolige
limnan=K>0n0Nnn0 : an>K \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall K>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{0}:\left|a_{n}\right|>K

Fir das Prodult, n2N \exists n_{2} \in \mathbb{N} mit n2=max{n0,n1} n_{2}=\max \left\{n_{0}, n_{1}\right\} , wobei nn2 \forall n \geqslant n_{2} gilt:
D.h. K>0n2INnn2 : anbn>K(anbn) \forall K>0 \exists n_{2} \in I N \quad \forall n \geq n_{2}:\left|a_{n} b_{n}\right|>K \Leftrightarrow\left(a_{n} b_{n}\right) divegiert bestinnt

Für bn=0 b_{n}=0 , würde gelten: limnanbn=liman=limbn=0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\underbrace{\lim a_{n}}_{=\infty} \underbrace{\lim b_{n}}_{=0} Für bn=0 b_{n}=0 , hann also (anbn) \left(a_{n} b_{n}\right) entweder yegen 0 konvergieren, oder gegen \infty bestimut divergieren.

Eine falsche Aussage kann man nicht beweisen.

Warum ignorierst Du die Honweise von mathef und mir?

Die Aussage war:

Zeigen Sie: Wenn lim(a_n) = ♾️ und lim(b_n) = b > 0 => lim(a_n * b_n) = ♾️. Also das ist ein Satz der so im Skript stand. Hab mich vorhin vertan, da sollte b > 0 stehen, nicht b_n > 0.

Aber die Definition ist vermutlich doch so:

limnan=K>0n0Nnn0 : an>K \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall K>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{0}: a_{n}>K

also ohne die Betragsstriche um an .

Und aus limnbn=bb>0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \wedge b \gt 0

kannst du ja schleißen, dass für hinreichend großes n jedenfalls

bn > 0 gilt.

Genau die Definition meinte ich, die ist auch nochmal in meinem Beweis (s.Bild).


Zu b_n > 0:

Ja weil sonst wäre es ja auch nicht dem Satz treu.

Aber ist mein Beweis denn für b_n > 0 korrekt, den ich da als Bild hochgeladen habe?

Mit den Betragsstrichen und ohne den Nachweis von bk>0

für hinreichend großes k halte ich den Beweis für falsch.

Ich hätte es so gemacht:  limnbn=bb>0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \wedge b \gt 0 .

Mit ε=b \varepsilon = b folgt mit der Def. von limnbn=b \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b

n0Nnn0 : bnb<ε \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{0}:\left|b_{n}-b\right| < \varepsilon ,

also b<bnb<b -b < b_{n}-b < b       

bzw. 0<bn<2b 0 < b_{n} < 2b     ##         also wie versprochen:

Für n>n0 jedenfalls  2b > bn > 0.

Und aus der anderen Voraussetzung  limnan= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty

folgt mit der richtigen Definition

K>0n1Nnn1 : an>K \forall K>0 \exists n_{1} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{1}: a_{n}>K .      #

Das zwischen xxxxxxxx und   xxxxxxxxx gehört nicht zur
Lösung, ich vermute aber, es macht dir deutlich wie ich drauf gekommen bin.

xxxxxxxxxxxxxxx

Was du beweisen sollst, ist ja

K>0n2Nnn1 : anbn>K \forall K>0 \exists n_{2} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{1}: a_{n}\cdot b_n >K .

Wäre also anzunehmen man habe ein K>0.

Dann würde aus an>K

wegen bn>0 zumindest folgen anbn>Kbn a_{n}\cdot b_n >K\cdot b_n .

Nun hatten wir aber oben schon gesehen : Für n>no gilt bn < 2b.

Um auf      anbn>K a_{n}\cdot b_n >K zu kommen, bräuchte man

aafangs    an>Kbn a_{n} > \frac{K}{b_n }   xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Also kann man so argumentieren  Sei K>0.

Dann ist auch K2b>0 \frac{K}{2b } >0 und wegen # gilt

n1Nnn1 : an>K2b \exists n_{1} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{1}: a_{n}> \frac{K}{2b }  

Mit deiner Ideen n2=max{n0,n1} n_{2}=\max \left\{n_{0}, n_{1}\right\} hat man dann

für n>n2

==> anbn>Kbn2b a_{n}\cdot b_n > \frac{K\cdot b_n}{2b } ###  und    2b > bn > 0

Und wegen Kbn2b=Kbn2b \frac{K\cdot bn}{2b } = K\cdot \frac{ bn}{2b }

Und wegen 2b > bn > 0 gilt bn2b<1 \frac{ bn}{2b } < 1

Also kannst du ### fortsetzen zu

anbn>Kbn2b>K a_{n}\cdot b_n > \frac{K\cdot bn}{2b } > K     q.e.d.

Du schreibst (b_n)/(2b)<1, benutzt direkt hinterher die umgekehrte Ungleichung.

Da hast du recht, ich schau mal, ob das reparabel ist.

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Wenn bnb>0b_n \to b>0, kann man ein MNM \in \N wählen ( zu ϵ=b/2\epsilon=b/2) mit

nMbnb/2n \geq M \Rightarrow b_n\geq b/2

Um anbnna_nb_nn \to \infty zu zeigen, wei c>0c>0 gegeben. Wegen ana_n \to \infty können wir NNN \in \N wählen, so dass

nNan2c/bn \geq N \Rightarrow a_n \geq 2c/b

Damit folgt:

nN : nmax{N,M}anbn2cbb2=c\forall n \in \N: \quad n \geq \max\{N,M\} \Rightarrow a_nb_n \geq \frac{2c}{b}\frac{b}{2}=c

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