Mit den Betragsstrichen und ohne den Nachweis von bk>0
für hinreichend großes k halte ich den Beweis für falsch.
Ich hätte es so gemacht: n→∞limbn=b∧b>0.
Mit ε=b folgt mit der Def. von n→∞limbn=b
∃n0∈N∀n⩾n0 : ∣bn−b∣<ε,
also −b<bn−b<b
bzw. 0<bn<2b ## also wie versprochen:
Für n>n0 jedenfalls 2b > bn > 0.
Und aus der anderen Voraussetzung n→∞liman=∞
folgt mit der richtigen Definition
∀K>0∃n1∈N∀n⩾n1 : an>K. #
Das zwischen xxxxxxxx und xxxxxxxxx gehört nicht zur
Lösung, ich vermute aber, es macht dir deutlich wie ich drauf gekommen bin.
xxxxxxxxxxxxxxx
Was du beweisen sollst, ist ja
∀K>0∃n2∈N∀n⩾n1 : an⋅bn>K.
Wäre also anzunehmen man habe ein K>0.
Dann würde aus an>K
wegen bn>0 zumindest folgen an⋅bn>K⋅bn.
Nun hatten wir aber oben schon gesehen : Für n>no gilt bn < 2b.
Um auf an⋅bn>K zu kommen, bräuchte man
aafangs an>bnK xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Also kann man so argumentieren Sei K>0.
Dann ist auch 2bK>0 und wegen # gilt
∃n1∈N∀n⩾n1 : an>2bK
Mit deiner Ideen n2=max{n0,n1} hat man dann
für n>n2
==> an⋅bn>2bK⋅bn ### und 2b > bn > 0
Und wegen 2bK⋅bn=K⋅2bbn
Und wegen 2b > bn > 0 gilt 2bbn<1
Also kannst du ### fortsetzen zu
an⋅bn>2bK⋅bn>K q.e.d.