Rechenvorgang bei Variablen mit Exponenten

Question

Aufgabe:

2*√4*a²/3 = 4*a¹/3

   1/16*(4*a²/3)² = a⁴/3

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

   Ich würde gerne wissen, wie man auf diese Ergebnisse kommt. Welche Regeln werden angewendet und wie lautet der Rechenvorgang, damit ich es nachvollziehen kann.

Comments

2*√4*a²/3  sollte wohl heißen: 2·$\sqrt{4a^2}$/3 oder?

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Welche Ergebnisse? Da stehen zwei Gleichungen, nicht eindeutig lesbar (s.o.), zusammenhanglos untereinander. Was ist die Aufgabe, vollständig bitte?

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Beides ist jeweils eine Termumformung, die dem FS unklar ist. Für mich ist das eindeutig. Nur bei der Wurzel fehlten die Klammern. Schaut man sich aber das Ergebnis an, ist es klar.

Answer 1

1. Wurzelgesetze: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ für $a, b \geq 0$.

2. Potenzgesetze: $(ab)^n=a^nb^n$ und $(a^n)^m=a^{nm}$.

Und selbstverständlich Bruchrechnung.

Gesetze nachschlagen und Rechnung nochmal selbst durchführen. In Lösungen werden Zwischenschritte häufig ausgelassen.

Answer 2

Aloha :)

zu 1) Allgemein gilt für jede reelle Zahl $a\in\mathbb R$:$\quad\sqrt{a^2}=|a|\quad(\ast)$.

Damit lautet die Vereinfachung in der Aufgabe:$$2\cdot\frac{\sqrt{4a^2}}{3}=2\cdot\frac{\sqrt{2a\cdot2a}}{3}=2\cdot\frac{\sqrt{(2a)^2}}{3}\stackrel{(\ast)}{=}2\cdot\frac{|2a|}{3}=2\cdot\frac{|2|\cdot|a|}{3}=\frac{4|a|}{3}$$

In deiner Lösung fehlen die Betragszeichen um das $a$.

Diese kannst du nur weglassen, wenn irgendwo steht, dass $a\ge0$ ist.

zu 2) Hier brauchst du folgende Regeln:$$\underbrace{(a^b)^c=a^{b\cdot c}}_{(1)}\quad;\quad\underbrace{(a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c}_{(2)}\quad;\quad\underbrace{\left(\frac ab\right)^c=\frac{a^c}{b^c}}_{(3)}$$

Die konkrete Anwendung sieht so aus:$$\frac{1}{16}\cdot\left(\frac{4a^2}{3}\right)^2\stackrel{(3)}{=}\frac{1}{16}\cdot\frac{(4a^2)^2}{3^2}\stackrel{(2)}{=}\frac{1}{16}\cdot\frac{4^2\cdot(a^2)^2}{3^2}\stackrel{(1)}{=}\frac{1}{16}\cdot\frac{4^2\cdot a^{2\cdot2}}{3^2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{16\cdot a^4}{9}=\frac{a^4}{9}$$

Das von dir präsentierte Ergebnis ist falsch, im Nenner muss eine $9$ statt einer $3$ stehen.

Answer 3

√(4*a^(2/3)) = √4 * √a^(2/3) = 2*  (a^(2/3))^(1/2) = 2* a^(2/3*1/2) = 2*a^(1/3)

Das Ganze mal 2 und du hast dein Ergebnis.

1/16*(4a²/3)² = 1/16* 4²* a^(4/3) = 16/16*a^(4/3) = a^(4/3)