Zeigen Sie, dass G ≃ S4 ist.

Question

Symmetriegruppe des Würfels:

..., dass die Symmetriegruppe des Würfels G = {A ∈ SO(3) | A(Würfel) = Würfel} 24 Elemente besitzt. Zeigen Sie, dass G ≃ S4 ist.

Für jede Lösung wäre ich dankbar.

Answer 1

Tipp: Eine $\text{SO}(3)$-Symmetrie (also: eine Rotationssymemtrie) eines Würfels muss zwangsläufig Diagonalen des Würfels auf Diagonalen schicken, und keine zwei verschiedenen Diagonalen können auf dieselbe Diagonale geschickt werden (da du sonst einen degenerierten Würfel hättest und deine Matrix nicht invertierbar). Also definiert die Information, welche Diagonalen auf welche Diagonalen geschickt werden, eine Abbildung $G\to S_4$. Dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, ist noch zu zeigen. Aber ich hoffe, der Tipp mit den Diagonalen hat dir schonmal geholfen.

Fun fact: Die endlichen Untergruppen der $\text{SO}(3)$ sind entweder zyklische Gruppen oder Diedergruppen. Zu dieser Aussage gibt es genau drei Gegenbeispiele, nicht mehr! Nämlich die Symmetriegruppe des Würfels, wo du ja zu zeigen hast, dass es die $S_4$ ist. Dazu ist die Symmetriegruppe des Tetraeders die $A_4$ und die des Icosaeders die $A_5$.

Comments

Mega danke dir!

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Heißt das, dass man eine beliebige Abbildung definieren soll, beispielsweise Drehung um 90 Grad, und zeigen, dass sie isomorph ist?

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Um den Isomorphismus etwas zu spezifizieren:

Nenne die vier Diagonalen des achsenparallelen Einheitswürfels mit Mittelpunkt im Ursprung $d_1,d_2,d_3,d_4$. Für jede rotationssymmetrie $\Phi\in \mathrm{SO}(3)$, die den Würfel festlässt (Eckpunkte auf Eckpunkte schickt, Kanten auf Kanten schickt, Flächen auf Flächen schickt), gilt: die Symmetrie $\Phi$ schickt Diagonalen auf Diagonalen, also für jedes $i$ gibt es ein $j$ mit $\Phi(d_i)=d_j$. Jetzt ist eine Rotationssymmetrie aber ein Isomorpihsmus des $\mathbb{R}^3$, also gilt für alle $i\neq j$:$\Phi(d_i)\neq \Phi(d_j)$, sprich: ein solches $\Phi$ permutiert die vier Diagonalen des Würfels. Es gibt also für jedes solche $\Phi$ genau eine Permutation $\sigma_\Phi\in S_4$, sodass $\Phi(d_i)=d_{\sigma_\Phi}$. Die Abbildung $\Phi\mapsto \sigma_\Phi$ ist genau der Isomorphismus, der gesucht ist.

Dass es ein Isomorphismus ist, erkennt man daran, dass man einfach eine Umkehrabbildung angeben kann. Alternativ ist es klar, dass $G$ genau 24 Elemente haben muss (das war wohl eine der vorherigen Aufgaben), und dass diese Abbildung injektiv ist, denn: Es gibt nur zwei Symmetrien des Würfels, die alle Diagonalen festhalten, die Identität und die Punktspiegelung im Ursprung, letzteres ist nicht in $\mathrm{SO}(3)$.