Berechnen Sie \left|M_{k}\right| für

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( M:=\left\{1,2, \ldots, 10^{5}\right\} \). Für \( k \in \mathbb{N} \) definieren wir \( M_{k}:=\left\{n^{k} \in M: n \in \mathbb{N}\right\} \subseteq M \).
a) Berechnen Sie \( \left|M_{k}\right| \) für
(i) \( k=2 \),
(ii) \( k=3 \),
(iii) \( k=5 \).
b) Zeigen Sie \( M_{k} \cap M_{l}=M_{k l} \) für verschiedene Primzahlen \( k, l \in \mathbb{N} \).

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bitte helfen dise Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Gib doch mal die Mengen \( M_k \) an und zähle die Elemente. Wenn man es geschickt anstellt, kann man leicht prüfen, wie viele Elemente die Mengen haben.

Comments

ja wie geht das?

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Die Menge ist doch beschrieben. Für \(k=2 \) ist \( M_2 = \{n^2 | n \in \mathbb{N} \}= \{1^2, 2^2,... \} \).

Answer 2

Für k = 2 hast du alle Quadratzahlen kleiner gleich 100000.

316^2 = 99856 ist damit die größte Quadratzahl. Und damit ist die Mächtigkeit |M2| = 316.

Möchtest du M3 und M5 jetzt zunächst mal alleine probieren?