Mathematische Eigenschaften des Dürer Polyeders

Question

Aufgabe: Mathematische Eigenschaften der Rekonstruktion vom Dürer Polyeder.

Problem/Ansatz:

Die Rekonstruktion basiert auf einer Kurve, die scheinbar eine Hyperbel bildet, die allerdings einseitig beschleunigt. Der Beweis für diese Konstruktion lässt sich direkt auf dem Kupferstich am Computer übertragen. Diese Konstruktion hat diverse Interessante Eigenschaften, die ich aber nicht ganz nachvollziehen kann, aufgrund dessen, dass ich mich nur mit Geometrie beschäftige.

Wenn man bei dem unregelmäßigen Fünfeck an dem Inneren Quadrat ein weiteres Quadrat hinzufügt und eine Gerade vom unteren Eckpunkt des neuen Quadrats durch den unteren Eckpunkt des Fünfeckes konstruiert, dann entsteht ein Schnittpunkt an der Gerade zwischen den beiden Quadraten. Zieht man dann von diesem Punkt eine senkrechte auf die Parallele, die durch den Mittelpunkt des innenliegenden Quadrats geht, trifft man auf den äußeren Punkt des Fünfecks.

Bei laufender Diskussion werde ich noch ein paar Bilder hinzufügen. Eine Zeichnung, die ich mit einer Approximation dessen gemacht habe, wird direkt hinzugefügt.

Answer 1

Du könntest mal das Licht an machen, damit man auch was sieht.;-)

Um die Anschauung bemüht

https://www.geogebra.org/m/g2e9qwge

und was ist jetzt die Frage?

siehe auch

https://mathematikalpha.de/duerer-polyeder-melancholia

Comments

Ich bitte sie darum, erstmal nachzulesen.

Die Klassischen Rekonstruktionen sind nicht ganz passend, das sieht man, wenn man es unter ähnlichen Bedingungen in Zentralprojektion zeichnet, vorallem nicht mit dem goldenen Schnitt oder mit einen Oktogon aus dem Raster eines Quadrates. Ich habe mich über ein halbes Jahr intensiv damit beschäftigt.

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Das ist auch keine Antwort, sondern eher ein Kommentar. Eine entsprechende Fragestellung fehlt aber dennoch.

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Da haben sie Recht. Entschuldigen sie bitte.

Mir geht es um die mathematischen Eigenschaften und den genauen punkt, beziehungsweise Koordinaten des Schnittpunkts von der Gerade und der Kurve. Ich füge ein Bild hinzu.

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Welche Gerade, welche Kurve... Ein mathematisch präzises gestelltes Problem wird sicher schneller beantwortet als eines, wo sich Leute erst tagelang einlesen müssen. Und mathematische Eigenschaften, wovon?

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Ich möchte gerne die genauen Koordinaten des Punktes haben. Die kurve ist rot dargestellt. Ich habe sie verkürzt dargestellt. Leider kann ich keine Animation hier hochladen, um das besser zu erläutern. Ich danke auf jeden Fall ihnen für die sachlichen Antworten.

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Für ein Koordinatensystem braucht man einen Nullpunkt: z.B.

eine Animation hätte ich auch

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Dankeschön für ihre Antwort.

Ich habe mit diesen Maßen in Zentralperspektive dieses Objekt nachgezeichnet, allerdings sind die Spitzen zu lang gezogen, trotz großer Distanz. An der Verzerrung der Perspektive kann es meines Erachtens nach nicht liegen. Ich habe die Animationen meiner Rekonstruktion auf YouTube gestellt.

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Deine Informationspolitik ist nach wie vor bruchstückhaft, aber langsam keimt eine Idee auf was Deine Absichten sein könnten - in anderer Sache unterwegs hab ich bei Arndt Brünner vorbeigeschaut und zufällig gesehen

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/duerer/duererspolyeder.htm#anm1

Trifft das Fundstück Deine Bemühungen in etwa?

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Vielen Dank für ihr Kommentar.

Es geht schon sehr in die richtige Richtung. Ich weiß nicht, mit welcher Technik diese Rekonstruktion erfolgt ist, aber eine Sache ist da noch. Dürers Zeichen-Technik für Zentralrisse hat einen kleinen Haken. Nämlich entstehen dabei Ungenauigkeiten, je weiter sich die Höhen der Punkte des Aufrisses vom Horizont entfernen. Das fällt stark auf, wenn man damit mal gezeichnet hat. Ebenfalls ist die Positionierung des Grundrisses bezüglich des gewählten Augpunktes sehr unvorteilhaft für eine genaue Abwicklung. Das Objekt ist etwas verzerrt auf dem Kupferstich. Deswegen habe ich das obere Fünfeck als Referenz genommen. Das sind meine Werte, die bei der genaueren Approximation entstehen.

Ich füge noch einen Link zur Rekonstruktion des Grundrisses hinzu und der Distanz.

https://www.geogebra.org/m/pmkfyxm4

Text erkannt:

$\begin{array}{l} \alpha=\operatorname{Winkel}(\mathrm{Q}, \mathrm{O}, \mathrm{P}) \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} =75.94320752210076^{\circ} \\ \beta=\text { Winkel }(\mathrm{O}, \mathrm{P}, \mathrm{C}) \\ =104.05679247789924^{\circ} \\ \gamma=\operatorname{Winkel}(\mathrm{P}, \mathrm{C}, \mathrm{D}) \\ =127.97160376105045^{\circ} \end{array}$
+ Eingabe...
Algebra
Werkzeuge

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Die Technik hinter dem Projekt von AB wird vergleichbar

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#material/xwj3hnda

sein (verwendet homogene Koordinaten). Verwende lieber die GGB 5.2 Classic Version, die Suite-Apps sind noch sehr unvollständig. Bezüglich den konkreten Projektionsvorschriften und Problemen hat AB eine sehr ausführliche Darstellungen abgeliefert incl. Fehlerbehandlung durch Regression - das hab ich nicht durchgearbeitet und kann auch nix wesentliches dazu beitragen - da fehlt mir der theoretische Hintergrund zu dem Thema.

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Die Rekonstruktion weicht etwas von den gegebenen Hauptpunkt ab. Ich finde, es fehlt eine Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal abwickelbar ist, zumindest approximiert. Schließlich hat Albrecht Dürer auch mit Zirkel und Lineal gearbeitet. Es muss einen gewissen Sachverhalt darstellen, ich denke nicht, dass Dürer diesen Körper ohne Verbindung zu einen geometrischen Sachverhalt gezeichnet hat.

Ich denke, dass die Kurve eine einseitig beschleunigende Kurve bildet, die einer Hyperbel extrem ähnlich sieht.

Text erkannt:

Algebra
Werkzeuge

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Ich habe eben die Messpunkte konstruiert und das Verhältnis der schmalen Kante und die Sehne der äußeren Punkte berechnet. Auf zwei Nachkommastellen passt es. Berücksichtigt man die Ungenauigkeiten die entstehen können bei der Punktesetzung im Programm, kann man davon ausgehen, dass meine Rekonstruktion wenigstens schon nah dran ist.

Text erkannt:

21:07 Mo., 19. Feb.
www.geogebra.org
unktion...
Explizite .
$G$ rafael ar...
G This Arc... ellipsenz..
w 8-demic...
Karim R...
Dürer... $\times$
Quadratr...
Hyperbel...
$\equiv$
GeoGebra
Geometrie
$<$
AUSTEILEN

Text erkannt:

21:07 Mo., 19. Feb.

Text erkannt:

1) 5.0135794422345794
2) $\quad 2.809542112245531$
3)
$\begin{array}{l} \frac{5.0135794422345794}{2.809542112245531} \\ =\quad 1.784482752681528 \end{array}$
4) Eingabe...
GeoGebra Taschenrechner

Text erkannt:

Algebra
$\Delta$
Werkzeuge