Wie hoch Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Ass zu haben, bei 52 Karten & 4 Spielern?

Question

In einem Kartenspiel mit 52 Karten, die gleichmäßig auf vier Spieler verteilt werden, bekommt jeder 13 Karten. Der Spieler A möchte wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit er mindestens ein Ass in seiner Hand hat.

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeiten ist am nächsten dran an der Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A mindestens ein Ass in seiner Hand hat

a) 14%

b) 29%

c) 48%

d) 65%

Die Aufgabe soll ohne Taschenrechner, innerhalb von 67 Sekunden gelöst werden!!!

Problem/Ansatz:

Mein erster Ansatz wäre gewesen mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu rechnen: Demnach

1- (P kein Ass)= 1-(n über x),

Problem: Dann steht in der Formel die Fakultät von 48; wird schwierig im Kopf, selbst mit Kürzen des Bruches…

Mein zweiter Ansatz war es über den Erwartungswert zu gehen:

Also: (4:52)x13 gleich 1, also mindestens 50%, dass ein Spieler ein Ass erhält

Problem: Aus Logikgründen wäre am nächsten die 48%, die richtige Lösung ist aber 65%

BIN VERZWEIFELT :(

Comments

Betrachte nicht die Hand von A sondern die vier Asse und näherungsweise deren Verteilung auf die anderen drei Spieler, so dass A leer ausgeht.

Answer 1

Mit Gegenereignis (Kein Ass)

1-P(X=0) = 1- (4über0)*(39über13)/(52über13) = 69,62%

Comments

Aber um (irgendwas über irgendwas) zu berechnen, muss ich ja die Formel

n!/(n-x)! * x! anwenden, korrekt?

Und mit einer 52!  wird das im Kopf doch eher schwierig oder stehe ich auf dem Schlauch?

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hypergeometrische Verteilung:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/hypergeometrische-verteilung

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AHHH Dankeschön!

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Also ich kann das so nicht ohne TR in 70 Sekunden im Kopf rechnen. Aber ich bin auch sehr schlecht im Kopfrechnen.

Answer 2

Ich würde das wie folgt abschätzen:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}1-\frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 88 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40} \\ \approx 1-\left(\frac{39}{52}\right)^{4}=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{4}=1-\frac{81}{256}=\frac{175}{256}=\frac{700}{1024} \\ \approx 0,7\end{array} \)

Comments

(3/4)^4 ist auch in etwa die Wahrscheinlichkeit das jedes Ass an die drei Mitspieler statt an mich geht. Und das Gegenteil ist dass ich mind. ein Ass erhalte.

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Danke, dass du ihm meine Lösungsidee genauer erklärt hast :

Bei 4 Spielern ist die W., dass KreuzAss an die Mitspieler geht, 3/4. Dasselbe trifft auch auf PikAss usw. zu. Diese vier Ereignisse sind zwar nicht st.unabhängig, aber immerhin fast, so dass die W., dass alle Asse an die Mitspieler gehen, etwa (3/4)^4 ist.

Tatsächlich gilt für KreuzAss p1=39/52 , dann p2=38/51 (weil noch 51 Karten vorhanden sind und die Mitspieler noch 38 zu bekommen haben), p3=37/50 und p4=36/49.