Wie kann ich die Funktion ermitteln?

Question

Aufgabe:

Ich habe einen Datensatz mit zwei Zahlenreihen die in einer Beziehung (Funktion) zueinander stehen. Wie kann ich die Funktion ermitteln?

Problem/Ansatz:

5          48.195

10          81.924

15          111.967

20          139.692

30          190.636

50          281.425

100          480.461 u.s.w.

Comments

vlt.so:

https://studyflix.de/statistik/lineare-regression-2147

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Hallo

da die zweite Zahlenreihe ja sehr genaue Zahlen angibt., weiss man denn, dass es einen genauen Zusammenhang gibt?, dann zeichne erst mal die Punkte auf um die Form der Funktion zu sehen, Natürlich kann man durch n Punkt immer ein Polynom n-1 ten Grades legen, aber das ist wohl nicht der Sinn? Wenn man den Ursprung der Daten kennt kann man oft einen Zusammenhang finden. also sag genauer was du suchst.

lula

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Wie kann ich die Funktion ermitteln?

Welche Eigenschaften soll die Funktion haben?

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Bei einer linearen Regression würde das so aussehen.

Es gibt dazu gute Lehrbücher. Der auf dieser Seite hingeflixte Studyflix-Link gehört nicht dazu.

Und es gibt auch Funktionen, die besser passen würden, beispielsweise

y = -0,0136x² + 5,9177x + 23,5855

oder y = 422,3296⋅sin(0,0126x - 0,1932) + 110,136

aber nur in dem Bereich für den Daten vorhanden sind:

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Es gibt natürlich alle möglichen und unmöglichen Regressionen. Gerade gestern hat in einem Schweizer Medium ein sich "Economic & Financial Editor" nennender studierter Agrarökonom aus Schopfheim (er berichtet auch über das Börsengeschehen) mit einer aus dem Ärmel geschüttelten kubischen Funktion den unausweichlichen Niedergang eines seit 1925 bestehenden Einzelhandelsunternehmens suggeriert:

Wir hatten dann eine kurze Unterhaltung über seine grünen Pünktchen und sind so verblieben, dass ich ihm frohe Ostern gewünscht habe.

Answer 1

du suchst doch eine lineare Funktion y = a·x + b welche folgende Gleichungen erfüllen muss

5·a + b = 48.195
10·a + b = 81.924
...

Die Gleichung in Matritzenschreibweise lautet

Beide Seiten der Gleichung multiplizieren wir mit der transponierten Matrix um die Normalengleichung zu erhalten.

Durch Vereinfachung erhältst du das Gleichungssystem

14150 ·a + 230·b = 73369.99  ∧ 230·a + 7·b = 1334.3

Dösen wir das Gleichungssystem erhalten wir die Parameter a und b.

a = 20670093/4615000 ∧ b = 20052473/461500

oder Näherungsweise

a = 4.479 ∧ b = 43.45

Damit hättest du die Parameter deiner Regressionsgeraden erhalten. Warum das ganze so einfach funktioniert würde hier den Rahmen sprengen, wird aber in guten Lehrbüchern auf mehreren Seiten ausführlich erklärt.

Skizze

~plot~ 4.479*x+43.45;{5|48.2};{10|81.9};{15|112.0};{20|139.7};{30|190.6};{50|281.4};{100|480.5};[[0|110|0|500]] ~plot~

Comments

Grundsätzlich erklärt wird dieses Verfahren natürlich auch auf Wikipedia.

https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate

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du suchst doch eine lineare Funktion

Der Fragesteller hat das nie behauptet, sogar er hätte wohl gesehen, dass seine gesuchte Funktion alles andere als linear ist :

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Guckt man sich die Daten genauer an, sieht man eigentlich, dass kein linearer Zusammenhang vorliegt. Insofern ist die Antwort ziemlich unpassend.

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Die lineare Regression bzw. ein lineares Ausgleichspolynom haben ggt und döschwo ist Spiel gebracht. Ich habe nur gezeigt, wie das rechnerisch sehr leicht aussehen könnte. Natürlich kann man auch einen völlig anderen Ansatz wählen.

Graphisch sieht man recht gut, dass deine Funktion die Punkte offensichtlich deutlich besser wiedergibt.